研究院北京二模理分类汇编圆锥曲线教师版.docx
《研究院北京二模理分类汇编圆锥曲线教师版.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《研究院北京二模理分类汇编圆锥曲线教师版.docx(15页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
2018二模分类汇编——圆锥曲线
1.(2018东城二模·理)已知双曲线C:
-=1的一条渐近线的倾斜角为60º,且与椭圆+y2=1有相等的焦距,则C的方程为
(A)-y2=1(B)-=1(C)x2-=1(D)-=1
1.C
2.(2018海淀二模·理)设曲线是双曲线,则“的方程为”是“的渐近线方程为”的
(A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件
(C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件
2.A
3.(2018丰台二模·理)已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为,则的值为
(A)
(B)
(C)
(D)
B
4.(2018海淀二模·理)能够使得命题“曲线上存在四个点,,,满足四边形是正方形”为真命题的一个实数的值为.
4.答案不唯一,或的任意实数
5.(2018房山二模·理)设双曲线的一条渐近线方程为,则该双曲线的离心率为.
5.
6.(2018顺义二模·理)设双曲线经过点(4,1),且与具有相同渐近线,则的方程为________________;渐近线方程为__________________.
6..
7.(2018朝阳二模·理)双曲线()的离心率是;该双曲线的两条渐近线的夹角是.
7.
8.(2018昌平二模·理)已知双曲线:
的渐近线方程为,则双曲线的离心率是.
8.
9.(2018海淀二模·理)(本小题共14分)
已知椭圆:
,为右焦点,圆:
,为椭圆上一点,且位于第一象限,过点作与圆相切于点,使得点,在两侧.
(Ⅰ)求椭圆的焦距及离心率;
(Ⅱ)求四边形面积的最大值.
8.(本小题共14分)
解:
(Ⅰ)在椭圆:
中,,,
所以, 2分
故椭圆的焦距为, 3分
离心率. 5分
(Ⅱ)法一:
设(,),
则,故. 6分
所以,
所以, 8分
. 9分
又,,故. 10分
因此 11分
.
由,得,即,
所以, 13分
当且仅当,即,时等号成立. 14分
(Ⅱ)法二:
设(), 6分
则,
所以, 8分
. 9分
又,,故. 10分
因此 11分
, 13分
当且仅当时,即,时等号成立. 14分
10.(2018房山二模·理)(本小题分)
已知椭圆的离心率为,为坐标原点,是椭圆的右焦点,为椭圆上一点,且轴,的面积为.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)过上一点的直线:
与直线相交于点,与直线相交于点.证明:
当点在上移动时,恒为定值,并求此定值.
10.(Ⅰ)设,则
又
因的面积为
由得
所以C的方程为…………5分
(Ⅱ)由
(1)知直线l的方程为(y0≠0),即y=(y0≠0).
因为直线AF的方程为x=1,所以直线l与AF的交点为M,
直线l与直线x=4的交点为N,
则=
又P(x0,y0)是C上一点,则.
代入上式得
=
所以=,为定值.…………14分
11.(2018朝阳二模·理)已知抛物线.
(1)写出抛物线的直线方程,并求出抛物线的焦点到准线的距离;
(2)过点且斜率存在的直线与抛物线交于不同的两点,,且点关于轴的对称点为,直线与轴交于点.
1)求点的坐标;
2)求与面积之和的最小值.
11.【解析】
(Ⅰ)由题可得,所以准线方程为
抛物线的焦点到准线的距离为.
(Ⅱ)
(i)解:
令则且令,令
所以
则直线方程为
当时,
所以
(ii)解:
则
当且仅当时,即等号成立
12.(2018西城二模·理)(本小题满分14分)
已知直线与抛物线相切于点.
(Ⅰ)求直线的方程及点的坐标;
(Ⅱ)设在抛物线上,为的中点.过作轴的垂线,分别交抛物线和直线于,.记△的面积为,△的面积为,证明:
.
12.(本小题满分14分)
解:
(Ⅰ)由得.①………………2分
依题意,有,且.
解得.………………3分
所以直线的方程为.………………4分
将代入①,解得,
所以点的坐标为.………………5分
(Ⅱ)设,则,所以.………………7分
依题意,将直线分别代入抛物线与直线,
得,.………………8分
因为………10分
,………………12分
所以.………………13分
又为中点,所以两点到直线的距离相等,
所以.………………14分
13.(2018东城二模·理)(本小题13分)
已知抛物线C:
y2=2px经过点P(2,2),A,B是抛物线C上异于点O的不同的两点,其中O为原点.
(I)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;
(II)若,求△AOB面积的最小值.
13.(共13分)
解:
(I)由抛物线C:
y2=2px经过点P(2,2)知,解得.
则抛物线C的方程为.
抛物线C的焦点坐标为,准线方程为.………………4分
(II)由题知,直线不与轴垂直,设直线:
,
由消去,得.
设,则.
因为,所以,即,
解得(舍)或.
所以.解得.
所以直线:
.
所以直线过定点.
.
当且仅当或时,等号成立.
所以面积的最小值为4.……………………………………13分
14.(2018昌平二模·理)(本小题14分)
已知椭圆经过点,且离心率为.
(I)求椭圆E的标准方程;
(II)过右焦点F的直线(与x轴不重合)与椭圆交于两点,线段AB的垂直平分线交y轴于点,求实数m的取值范围.
14.(共14分)
(Ⅰ)由题意,得,解得.
所以椭圆E的标准方程是.-------------------5分
(II)
(1)当直线轴时,m=0符合题意.
(2)当直线与x轴不垂直时,设直线的方程为,
由,得,
由,得R.
设,,则.
所以,
所以线段AB中点C的坐标为.
由题意可知,,故直线的方程为,
令x=0,,即
当k>0时,,得,当且仅当时“=”成立.
同理,当k<0时,,当且仅当时“=”成立.
综上所述,实数m的取值范围为.--------------------14分
15.(2018丰台二模·理)(本小题共14分)
已知椭圆:
的长轴长为,离心率为,过右焦点且不与坐标轴垂直的直线与椭圆相交于,两点,设点,记直线,的斜率分别为,.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)若,求的值.
15.(本小题共14分)
解:
(Ⅰ)依题意得,所以.…………………1分
因为,所以.…………………2分
所以.…………………3分
所以椭圆的方程为.…………………4分
(Ⅱ)椭圆的右焦点.…………………5分
设直线:
,设,.………6分
联立方程组,
消得,成立.…………………8分
所以,.…………………9分
因为,…………………10分
所以,即,…11分
所以恒成立.…………………12分
因为,所以,
即,…………………13分
化简为,
所以.…………………14分
16.(2018顺义二模·理)(本小题满分14分)已知椭圆的左焦点为,左顶点为,离心率为,点满足条件.
(Ⅰ)求实数的值;
(Ⅱ)设过点的直线与椭圆交于两点,记和的面积分别为,证明:
.
16.解:
(Ⅰ)椭圆的标准方程为:
∴,------------------------2分
则,--------------------3分
∵,解得-------------4分
(Ⅱ)方法一:
①若直线的斜率不存在,则,,符合题意--------5分
②若直线的斜率存在,因为左焦点,则可设直线的方程为:
,
并设.
联立方程组,消去得:
---6分
∴,--------------------------------7分
∵----------------9分
∴-------------------------------------------------------------------12分
∵,
∴------------------------------------------------------------------14分
方法二:
依题意可设直线的方程为:
,并设.—5分
联立方程组,消去,得--------6分
∴,--------------------------------7分
∵------------------------------9分
∴------------------------------------------------------------------12分
∵,
∴------------------------------------------------------------------14分