矩阵知识点归纳.doc
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矩阵知识点归纳
（一）二阶矩阵与变换
1．线性变换与二阶矩阵
在平面直角坐标系xOy中，由（其中a，b，c，d是常数）构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d排成的正方形数表称为二阶矩阵，其中a，b，c，d称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，…或（aij）表示（其中i，j分别为元素aij所在的行和列）．
2．矩阵的乘法
行矩阵[a11a12]与列矩阵的乘法规则为[a11a12]＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵与列矩阵的乘法规则为＝.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．
3．几种常见的线性变换
（1）恒等变换矩阵M＝；
（2）旋转变换Rθ对应的矩阵是M＝；
（3）反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于x轴对称，则变换对应矩阵为M1＝；若关于y轴对称，则变换对应矩阵为M2＝；若关于坐标原点对称，则变换对应矩阵M3＝；
（4）伸压变换对应的二阶矩阵M＝，表示将每个点的横坐标变为原来的k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，k1，k2均为非零常数；
（5）投影变换要看投影在什么直线上，例如关于x轴的投影变换的矩阵为M＝；
（6）切变变换要看沿什么方向平移，若沿x轴平移|ky|个单位，则对应矩阵M＝，若沿y轴平移|kx|个单位，则对应矩阵M＝.（其中k为非零常数）．
4．线性变换的基本性质
设向量α＝，规定实数λ与向量α的乘积λα＝；设向量α＝，β＝，规定向量α与β的和α＋β＝.
（1）设M是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ是一个任意实数，则①M（λα）＝λMα，②M（α＋β）＝Mα＋Mβ.
（2）二阶矩阵对应的变换（线性变换）把平面上的直线变成直线（或一点）．
（二）矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
1．矩阵的逆矩阵
（1）一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆．并且称σ是ρ的逆变换．
（2）设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵．
（3）（性质1）设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的．A的逆矩阵记为A－1．
（4）（性质2）设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且（AB）－1＝B－1A－1.
（5）已知A，B，C为二阶矩阵，且AB＝AC，若矩阵A存在逆矩阵，则B＝C.
（6）对于二阶可逆矩阵A＝（ad－bc≠0），它的逆矩阵为A－1＝.
2．二阶行列式与方程组的解
对于关于x，y的二元一次方程组我们把称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值（或多项式），记为det（A）＝＝ad－bc.
若将方程组中行列式记为D，记为Dx，记为Dy，则当D≠0时，方程组的解为
3．二阶矩阵的特征值和特征向量
（1）特征值与特征向量的概念
设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．
（2）特征多项式
设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为α＝，则A＝λ，即也即（*）
定义：
设A＝是一个二阶矩阵，λ∈R，我们把行列式f（λ）＝＝λ2－（a＋d）λ＋ad－bc称为A的特征多项式．
（3）矩阵的特征值与特征向量的求法
如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ一定是二阶矩阵A的特征多项式的一个根，即f（λ）＝0，此时，将λ代入二元一次方程组（*），就可得到一组非零解，于是非零向量即为A的属于λ的一个特征向量
．
所有变换矩阵
单位矩阵：
，点的变换为
伸压变换矩阵：
：
，将原来图形横坐标扩大为原来倍，纵坐标不变
，将原来图形横坐标缩小为原来倍，纵坐标不变
点的变换为
：
，将原来图形纵坐标扩大为原来倍，横坐标不变
，将原来图形纵坐标缩小为原来倍，横坐标不变
点的变换为
反射变换：
：
点的变换为变换前后关于轴对称
：
点的变换为变换前后关于轴对称
：
点的变换为变换前后关于原点对称
：
点的变换为变换前后关于直线对称
旋转变换：
：
逆时针：
；顺时针：
旋转变化矩阵还可以设为：
投影变换：
：
将坐标平面上的点垂直投影到轴上
点的变换为
：
将坐标平面上的点垂直投影到轴上
点的变换为
：
将坐标平面上的点垂直于轴方向投影到上
点的变换为
：
将坐标平面上的点平行于轴方向投影到上
点的变换为
：
将坐标平面上的点垂直于方向投影到上
点的变换为
切变变换：
：
把平面上的点沿轴方向平移个单位
点的变换为
：
把平面上的点沿轴方向平移个单位
点的变换为
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