直线与圆锥曲线的位置关系练习题.doc

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直线与圆锥曲线的位置关系练习题

一、选择题　　　　　　　　　　　　　　

1．双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（　　）

A．k＞－ B．k＜C．k＞或k＜－ D．－＜k＜

2．若直线mx＋ny＝4与⊙O：

x2＋y2＝4没有交点，则过点P（m，n）的直线与椭圆＋＝1的交点个数是（　　）

A．至多为1 B．2 C．1 D．0

3．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则|AB|的最大值为（　　）

A．2 B. C. D.

4．设双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线与抛物线y＝x2＋1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（　　）

A. B．5 C. D.

5．已知A，B为抛物线C：

y2＝4x上的两个不同的点，F为抛物线C的焦点，若＝－4，则直线AB的斜率为（　　）

A．± B．± C．± D．±

6.过点（0,2）与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有（C）

A．1条B．2条C．3条D．无数条

7.直线y＝kx－k＋1与椭圆＋＝1的位置关系为（A）

A．相交B．相切C．相离D．不确定

8.已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有两个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（A）

A．（1,2）B．（1,2]C．[2，＋∞）D．（2，＋∞）

9.过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是原点，若|AF|＝3，则△AOB的面积为（C）

A.B.C.D．2

10．已知对k∈R，直线y－kx－1＝0与椭圆＋＝1恒有公共点，则实数m的取值范围是（　　）

A．（0,1）　　　　B．（0,5）C．[1,5）∪（5，＋∞）D．[1,5）

11．直线l：

y＝x＋3与曲线－＝1交点的个数为（　　）

A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3

12．已知双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是（　　）

A．（1,2）B．（－1,2）C．（2，＋∞）D．[2，＋∞）

13．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1交于不同两点A、B，则|AB|的最大值为（　　）

A．2B.C.D.

14．设离心率为e的双曲线C：

－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，直线l过焦点F，且斜率为k，则直线l与双曲线C的左、右两支都相交的充要条件是（　　）

A．k2－e2＞1B．k2－e2＜1C．e2－k2＞1D．e2－k2＜1

二、填空题

1．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是________．

2．已知（4，2）是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点，则l的方程是________．

3．（2013·汕头模拟）已知点P在直线x＋y＋5＝0上，点Q在抛物线y2＝2x上，则|PQ|的最小值等于________．

4.若椭圆＋＝1与直线x＋2y－2＝0有两个不同的交点，则m的取值范围是.

5.已知两定点M（－2,0），N（2,0），若直线上存在点P，使得|PM|－|PN|＝2，则称该直线为“A型直线”，给出下列直线：

①y＝x＋1；②y＝x＋2；③y＝－x＋3；④y＝－2x.其中是“A型直线”的序号是.

三、解答题

1．设F1，F2分别是椭圆E：

x2＋＝1（0

（1）求|AB|；

（2）若直线l的斜率为1，求b的值．

2.已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，△ABC的三个顶点都在抛物线上，且△ABC的重心为抛物线的焦点，若BC所在直线l的方程为4x＋y－20＝0.

（1）求抛物线C的方程；

（2）若O是坐标原点，P，Q是抛物线C上的两动点，且满足PO⊥OQ，证明：

直线PQ过定点．

3.设椭圆＋＝1（a>b>0）的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆上且异于A，B两点，O为坐标原点．

（1）若直线AP与BP的斜率之积为－，求椭圆的离心率；

（2）若|AP|＝|OA|，证明直线OP的斜率k满足|k|>.

4.已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设a＝xi＋（y－1）j，b＝xi＋（y＋1）j，

且满足|a|＋|b|＝2.

（1）求点P（x，y）的轨迹C的方程；

（2）设点F（0,1），点A，B，C，D在曲线C上，若与共线，与共线，

且·＝0.求四边形ACBD的面积的最小值和最大值．

5．（2013·佛山质检）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

＋y2＝1.如图8－9－3所示，斜率为k（k＞0）且不过原点的直线l交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为E，射线OE交椭圆C于点G，交直线x＝－3于点D（－3，m）．

（1）求m2＋k2的最小值；

（2）若|OG|2＝|OD|·|OE|，求证：

直线l过定点．

直线与圆锥曲线的位置关系练习题解析及答案

一、选择题　　　　　　　　　　　　　　　　　

1．【解析】　由双曲线的几何意义，－＜k＜.【答案】　D

2．【解析】　由题意知：

＞2，即＜2，

∴点P（m，n）在椭圆＋＝1的内部，因此直线与椭圆有2个交点．【答案】　B

3．【解析】　设椭圆与直线相交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，

由消去y，得5x2＋8tx＋4（t2－1）＝0，则有x1＋x2＝－t，x1x2＝.

∴|AB|＝|x1－x2|＝·＝，

当t＝0时，|AB|max＝.【答案】　C

4．【解析】　双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，

由方程组消去y得，x2－x＋1＝0有唯一解，所以Δ＝（）2－4＝0，＝2，

e＝＝＝＝.【答案】　D

5．【解析】　焦点F（1，0），直线AB的斜率必存在，且不为0.

故可设直线AB的方程为y＝k（x－1）（k≠0），代入y2＝4x中化简得ky2－4y－4k＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，①y1y2＝－4，②

又由＝－4可得y1＝－4y2，③联立①②③式解得k＝±.【答案】　D

6、解析：

易知y轴与抛物线切于原点满足条件；直线y＝2与抛物线的对称轴平行也满足条件；另外画出图形，易知有一条直线与抛物线切于x轴上方，故这样的直线有3条．选C.

7.选A.

8、解析：

双曲线渐近线斜率小于直线的斜率，即

所以双曲线的离心率e＝＝<2，即1＜e＜2，故选A.

9、解析：

设∠AFx＝θ（0<θ<π）及|BF|＝m，则点A到准线l：

x＝－1的距离为3，

得3＝2＋3cosθ⇔cosθ＝.又m＝2＋mcos（π－θ）⇔m＝＝，

△AOB的面积为S＝·|OF|·|AB|sinθ＝×1×（3＋）×＝，故选C.

10.解析：

直线y＝kx＋1过定点（0,1），只要（0,1）不在椭圆＋＝1外部即可．

从而m≥1，又因为椭圆＋＝1中m≠5，所以m的取值范围是[1,5）∪（5，＋∞）.

答案：

C

11.解析：

当x≥0时，曲线为－＝1；当x＜0时，曲线为＋＝1，如图所示，

直线l：

y＝x＋3过（0,3），又由于双曲线－＝1的渐近线y＝x的斜率＞1，故直线l与曲线－＝1（x≥0）有两个交点，显然l与半椭圆＋＝1（x≤0）有两个交点，（0,3）记了两次，所以共3个交点.答案：

D

12.解析：

过F的直线l与双曲线的右支有且只有一个交点，则其斜率为正的渐近线的倾斜角应不小于l的倾斜角，已知l的倾斜角是60°，从而≥，故≥2.答案：

D

13.答案：

C

14.解析：

由双曲线的图象和渐近线的几何意义，可知直线的斜率k只需满足－＜k＜，即k2＜＝＝e2－1.答案：

C

二、填空题

1【解析】　直线y＝kx＋1过定点（0，1），由题意知∴m≥1，且m≠5.

【答案】　m≥1，且m≠5

2【解析】　设直线l与椭圆相交于A、B两点，且A（x1，y1），B（x2，y2），则

两式相减得＝－，又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，∴＝－，

故直线l的方程为y－2＝－（x－4），即x＋2y－8＝0.

【答案】　x＋2y－8＝0

3．【解析】　设直线l′平行于直线x＋y＋5＝0，且与抛物线相切，设l′：

y＝－x＋m，

由得y2＋2y－2m＝0，由Δ＝4＋8m＝0，得m＝－.

则两直线距离d＝＝，即|PQ|min＝.【答案】　

4解析：

由消去x并整理得（3＋4m）y2－8my＋m＝0，

根据条件得，解得3.

5解析：

由条件知考虑给出直线与双曲线x2－＝1右支的交点情况，作图易知①③直线与双曲线右支有交点，故填①③.

三、解答题

1．解：

（1）由椭圆定义知|AF2|＋|AB|＋|BF2|＝4，

又2|AB|＝|AF2|＋|BF2|，得|AB|＝.

（2）l的方程为y＝x＋c，其中c＝.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则A，B两点坐标满足方程组

化简得（1＋b2）x2＋2cx＋1－2b2＝0.则x1＋x2＝，x1x2＝.

因为直线AB的斜率为1，所以|AB|＝|x2－x1|，即＝|x2－x1|.

则＝（x1＋x2）2－4x1x2＝－＝，解得b＝.

2．解：

（1）设抛物线C的方程为y2＝2mx，由

得2y2＋my－20m＝0.∵Δ>0，∴m>0或m<－160.设B（x1，y1），C（x2，y2），

则y1＋y2＝－，∴x1＋x2＝＋＝10＋.

再设A（x3，y3），由于△ABC的重心为F，

则解得

∵点A在抛物线上，∴2＝2m.∴m＝8，抛物线C的方程为y2＝16x.

（2）证明：

当PQ的斜率存在时，设PQ的方程为y＝kx＋b，显然k≠0，b≠0，∵PO⊥OQ，∴kPOkOQ＝－1，设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），∴xPxQ＋yPyQ＝0.

将直线y＝kx＋b代入抛物线方程，得ky2－16y＋16b＝0，

∴yPyQ＝.从而xPxQ＝＝，∴＋＝0.∵k≠0，b≠0.

∴直线PQ的方程为y＝kx－16k，PQ过点（16,0）；

当PQ的斜率不存在时，显然PQ⊥x轴，又PO⊥OQ，

∴△POQ为等腰三角形．由

得P（16,16），Q（16，－16），此时直线PQ过点（16,0），∴直线PQ恒过定点（16,0）．

3.解：

（1）设点P的坐标为（x0，y0）．由题意，有＋＝1.①

由A（－a,0），B（a,0）得kAP＝，kBP＝.

由kAP·kBP＝－，可得x＝a2－2y，代入①并整理得（a2－2b2）y＝0.

由于y0≠0，故a2＝2b2.于是e2＝＝，所以椭圆的离心率e＝.

（2）证明：

依题意，直线OP的方程为y＝kx，设点P的坐标为（x0，y0）．

由条件得消去y0并整理得x＝.②

由|AP|＝|OA|，A（－a,0）及y0＝kx0，得（x0＋a）2＋k2x＝a2.整理得（1＋k2）x＋2ax0＝0.

而x0≠0，于是x0＝，代入②，整理得（1＋k2）2＝4k22＋4.

由a>b>0，故（1＋k2）2>4k2＋4，即k2＋1>4，因此k2>3，所以|k|>.

4.解析：

（1）∵|a|＋|b|＝2，∴＋＝2.

由椭圆的定义可知，动点P（x，y）的轨迹是以点F1（