直接、间接证明与数学归纳法.doc
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教学设计方案
XueDaPPTSLearningCenter
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学科
数学
年级
教材版本
人教版
阶段
第（）周观察期：
□维护期：
□
课题名称
直接、间接证明与数学归纳法
课时计划
第（）课时
共（）课时
上课时间
教学目标
分析法和综合法在证明方法中都占有重要地位，是解决数学问题的重要思想方法。
当所证命题的结论与所给条件间联系不明确，常常采用分析法证明；当所证的命题与相应定义、定理、公理有直接联系时，常常采用综合法证明.在解决问题时，常常把分析法和综合法结合起来使用。
教学重点
反证法解题的实质是否定结论导出矛盾，从而说明原结论正确。
在否定结论时，其反面要找对、找全.
教学
难点
它适合证明“存在性问题、唯一性问题”，带有“至少有一个”或“至多有一个”等字样的数学问题.
教学过程
直接证明与间接证明
知识要点梳理
直接证明
1、综合法
（1）定义：
一般地，从命题的已知条件出发，利用公理、已知的定义及定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法.
（2）综合法的的基本思路：
执因索果
综合法又叫“顺推证法”或“由因导果法”.它是从已知条件和某些学过的定义、公理、公式、定理等出发，通过推导得出结论.
（3）综合法的思维框图：
用表示已知条件，为定义、定理、公理等，表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示为：
（已知）（逐步推导结论成立的必要条件）（结论）
2、分析法
（1）定义：
一般地，从需要证明的命题出发，分析使这个命题成立的充分条件，逐步寻找使命题成立的充分条件，直至所寻求的充分条件显然成立（已知条件、定理、定义、公理等），或由已知证明成立，从而确定所证的命题成立的一种证明方法，叫做分析法.
（2）分析法的基本思路：
执果索因
分析法又叫“逆推证法”或“执果索因法”.它是从要证明的结论出发，分析使之成立的条件，即寻求使每一步成立的充分条件，直到最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
（3）分析法的思维框图：
用表示已知条件和已有的定义、公理、公式、定理等，所要证明的结论，则用分析法证明可用框图表示为：
（结论）（逐步寻找使结论成立的充分条件）（已知）
（4）分析法的格式：
要证……，只需证……，只需证……，因为……成立，所以原不等式得证。
间接证明
反证法
（1）定义：
一般地，首先假设要证明的命题结论不正确，即结论的反面成立，然后利用公理，已知的定义、定理，命题的条件逐步分析，得到和命题的条件或公理、定理、定义及明显成立的事实等矛盾的结论，以此说明假设的结论不成立，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.
（2）反证法的特点：
反证法是间接证明的一种基本方法.它是先假设要证的命题不成立，即结论的反面成立，在已知条件和“假设”这个新条件下，通过逻辑推理，得出与定义、公理、定理、已知条件、临时假设等相矛盾的结论，从而判定结论的反面不能成立，即证明了命题的结论一定是正确的.
（3）反证法的基本思路：
“假设——矛盾——肯定”
①分清命题的条件和结论．
②做出与命题结论相矛盾的假设．
③由假设出发，结合已知条件，应用演绎推理方法，推出矛盾的结果．
④断定产生矛盾结果的原因，在于开始所做的假定不真，于是原结论成立，从而间接地证明原命
题为真．
（4）用反证法证明命题“若则”，它的全部过程和逻辑根据可以表示为：
（5）反证法的优点：
对原结论否定的假定的提出，相当于增加了一个已知条件.
数学归纳法
1.证明一个与正整数有关的命题关键步骤如下：
（1）证明当取第一个值时结论正确；
（2）假设当＝（∈，≥）时结论正确,证明当＝＋1时结论也正确．
完成这两个步骤后,就可以断定命题对从开始的所有正整数都正确．
这种证明方法叫做数学归纳法．
2.数学归纳法作为一种证明方法，其基本思想是递推（递归）思想，使用要点可概括为：
两个步骤一结论，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉；
规律方法指导
1.用反证法证明数学命题的一般步骤：
①反设——假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；
②归谬——从反设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；
③存真——由矛盾结果，断定反设不真，从而肯定原结论成立.
经典例题透析
类型一：
综合法
1．如图，设在四面体中，，，是的中点.
求证：
垂直于所在的平面.
解析：
连、
因为是斜边上的中线，所以
又因为,而是、、的公共边，
所以
于是,
而，因此
∴，
由此可知垂直于所在的平面.
【变式1】求证：
.
由此可联想到公式，转化成能直接利用对数的运算性质进行化简的形式.
∵，
∴左边
∵，
∴.
类型二：
分析法
2．求证：
法一：
分析法
要证成立，
只需证明，
两边平方得，
所以只需证明，
两边平方得，
即，
∵恒成立，
∴原不等式得证.
法二：
综合法
∵，，
，
∴.
∴.
∴.
【变式1】求证：
【答案】∵、、均为正数
∴要证成立，只需证明，
两边展开得即，
所以只需证明即，
∵恒成立，∴成立.
类型三：
反证法
3．设二次函数中的、、均为奇数，
求证：
方程无整数根.
证明：
假设方程有整数根，则成立，
所以.
因为为奇数，所以也为奇数，且与都必须为奇数.
因为已知、为奇数，又为奇数，
所以为偶数，这与为奇数矛盾，
所以假设不成立，原命题成立.
【变式1】若都为实数，且，，，
求证：
中至少有一个大于0.
【答案】假设都不大于0，则，，，
所以
又
.
因为，，，，
所以，
所以，这与矛盾，
所以假设不成立，原命题成立.
类型四：
数学归纳法
例1．用数学归纳法证明
（）．
变式训练1.用数学归纳法证明：
1＋3＋5＋…＋（2n－1）＝．
点评：
利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时，要注意三句话：
递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。
例2．已知数列根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法进行证明。
基础达标练习：
1．若命题A（n）（n∈N*）在n＝k（k∈N*）时命题成立，则有n＝k＋1时命题成立．现知命题对n＝n0（n0∈N*）时命题成立，则有（ ）
A．命题对所有正整数都成立
B．命题对小于n0的正整数不成立，对大于或等于n0的正整数都成立
C．命题对小于n0的正整数成立与否不能确定，对大于或等于n0的正整数都成立
D．以上说法都不正确
2．在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n（n－3）条时，第一步验证n等于（ ）
A．1 B．2C．3 D．0
3．用数学归纳法证明＋＋…＋>－.
假设n＝k时，不等式成立，则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是________．
1．要证明可选择的方法有以下几种，其中最合理的是（）
A．综合法 B．分析法 C．反证法 D．归纳法
2．设,,则的大小关系是（）
A． B． C． D．
3．已知函数，，则是大小关系为（）
A． B． C． D．
4．至少有一个负实根的充要条件是（）
A． B． C． D．或
5．如果都是正数，且，求证：
．
6．已知都是正数，，且，求证：
．
7．用反证法证明：
如果，那么．
能力提升：
1．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋1）时，第一步应验证不等式（ ）
A．1＋<2 B．1＋＋<2C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3
2．（2011江西）观察下列各式：
55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52011的末四位数字为（ ）
A．3125B．5625C．0625 D．8125
3．利用数学归纳法证明＋＋＋…＋<1（n∈N*，且n≥2）时，第二步由k到k＋1时不等式左端的变化是（ ）
A．增加了这一项B．增加了和两项
C．增加了和两项，同时减少了这一项D．以上都不对
4．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”的第二步是（ ）
A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k（k≥1），再推n＝k＋2时正确（以上k∈N*）
5．分析下述证明2＋4＋…＋2n＝n2＋n＋1（n∈N*）的过程中的错误：
________________.
证明：
假设当n＝k（k∈N*）时等式成立，即2＋4＋…＋2k＝k2＋k＋1，那么2＋4＋…＋2k＋2（k＋1）＝k2＋k＋1＋2（k＋1）＝（k＋1）2＋（k＋1）＋1，即当n＝k＋1时等式也成立．因此对于任何n∈N*等式都成立．
6．用数学归纳法证明：
当n≥2，n∈N*时，（1－）（1－）（1－）…（1－）＝.
7．求证：
＋＋…＋>（n≥2，n∈N*）．
8．已知a,b是正实数，求证：
.
综合探究：
9．求证：
正弦函数没有比小的正周期.
课
后
记
本节课教学计划完成情况：
照常完成□提前完成□延后完成□
学生的接受程度：
完全能接受□部分能接受□不能接受□
学生的课堂表现：
很积极□比较积极□一般□不积极□
学生上次的作业完成情况：
数量%完成质量分存在问题
备注
班主任签字
家长或学生签字
教研主任审批
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