用导数处理不等式恒成立问题.docx

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教学过程

一、复习预习

一般地，求函数在上的最大值与最小值的步骤如下：

⑴求在内的极值；

⑵将的各极值与端点处的函数值、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值，得出函数在上的最值

二、知识讲解

常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法。

考点1：

利用导数解决恒成立问题

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上

考点2：

利用导数解决能成立问题

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；

若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.

解决不等式恒成立问题和能成立问题，注意一个是全称命题，一个是存在性命题，所以转化的时候要注意求的到底是函数最大值和最小值。

三、例题精析

【例题1】

【题干】设函数在及时取得极值．

（1）求、的值；

（2）若对于任意的，都有成立，求的取值范围．

【答案】

（1），

（2）的取值范围为

【解析】

（1），

∵函数在及取得极值，则有，．

即，解得，．

（2）

由

（1）可知，，．

当时，；当时，；当时，．

∴当时，取得极大值，又，．

则当时，的最大值为．

∵对于任意的，有恒成立，∴，解得或，

因此的取值范围为．

【例题2】

【题干】设函数

（1）当a=1时，求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数，求实数a的取值范围；

（3）设函数，若在[l，e]上至少存在一组使成立，求实数a的取值范围.

【解析】

（1）切线为                             …

（2），由题意若函数在其定义域内为增函数，

在（0，+∞）上恒成立，即

，，，，  （3）在[1，e]上至少存在一组使成立；

则，                   ……9分

在[1，e]上递减，

，，令

当时，在上递增，

，，

当时

时在上递增，，，不合题意。

当时，，

，，在上递减，

当时，，在上递减，ks5u

时，，不合题意。

综上：

【例题3】

【题干】已知函数.

（1）当时，求的极值；

（2）若在上是增函数，求的取值范围.

【解析】

（1）当时，，在内单调递减，在内单调递增，当时，有极小值，的极小值是

（2）在上，是增函数，当且仅当，即.　①

当时，①恒成立.

当时，若要①成立，则需，解得.

当时，若要①成立，则需，解得.

综上，的取值范围是

四、课堂运用

【基础】

1.三次函数f（x）=x3﹣3bx+3b在[1，2]内恒为正值，则b的取值范围是　_________　．

【答案】

【解析】方法1：

拆分函数f（x），根据直线的斜率观察可知在[1，2]范围内，直线y2与y1=x3相切的斜率是3b的最大值，求出b的取值范围

方法2：

利用函数导数判断函数的单调性，再对b进行讨论，比较是否与已知条件相符，若不符则舍掉，最后求出b的范围。

2.对于总有成立，则的值为多少？

【答案】a=4

【解析】若，则不论取何值，显然成立；

当，即时可化为.

设，则，

所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，

因此，从而.

当，即时，可化为，则在区间上单调递增，因此，从而.

综上所述.

【巩固】

1.设为实数，函数.

（1）若，求的取值范围；

（2）求的最小值；

（3）设函数，直接写出（不需给出演算步骤）不等式的解集.

【解析】

（1）若，则

（2）当时，

当时，

综上

（3）时，得，

当时，；

当时，△>0,得：

讨论得：

当时，解集为;

当时，解集为;

当时，解集为.

2.已知函数，讨论的单调性.

【解析】的定义域是（0,+）,

设,二次方程的判别式.

①当，即时，对一切都有,此时在上是增函数。

②当,即时，仅对有,对其余的都有,此时在上也是增函数。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

③当，即时，

方程有两个不同的实根,,.

+

0

_

0

+

单调递增

极大

单调递减

极小

单调递增

此时在上单调递增,在是上单调递减,在上单调递增.

【拔高】

1.设函数

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅲ）若函数在区间内单调递增，求的取值范围.

【解析】

（Ⅰ）,

曲线在点处的切线方程为.

（Ⅱ）由，得，

若，则当时，，函数单调递减，

当时，，函数单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

若，则当时，，函数单调递增，

当时，，函数单调递减，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，若，则当且仅当，

即时，函数内单调递增，

若，则当且仅当，

即时，函数内单调递增，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

综上可知，函数内单调递增时，的取值范围是.

2.已知函数f（x）=x－ax+（a－1），。

（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）证明：

若，则对任意x，x，xx，有。

【解析】

（1）的定义域为。

（i）若即,则

故在单调增加。

（ii）若,而,故,则当时，;

当及时，

故在单调减少，在单调增加。

（iii）若,即,同理可得在单调减少，在单调增加.

（II）考虑函数

则

由于1

课程小结

关于运用导数解决含参函数问题的策略还有很多，参数问题形式多样，方法灵活多变，技巧性较强，对于某些“含参函数”题目，不一定用某一种方法，还可用多种方法去处理．这就要求我们养成良好的数学思维，有良好的观察与分析问题的能力，灵活的转化问题能力，使所见到的“含参函数”问题能更有效地解决．

课后作业

【基础】

1.已知函数

（1）如，求的单调区间；

（2）若在单调增加，在单调减少，证明＜6.w.

【解析】（Ⅰ）当时，，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当

当

从而单调减少.

（Ⅱ）

由条件得：

从而

因为所以

将右边展开，与左边比较系数得，故

又由此可得

于是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

2.设函数有两个极值点，且

（I）求的取值范围，并讨论的单调性；

（II）证明：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】（I）

令，其对称轴为。

由题意知是方程的两个均大于的不相等的实根，其充要条件为，得

⑴当时，在内为增函数；

⑵当时，在内为减函数；

⑶当时，在内为增函数；

（II）由（I），

设，

则

⑴当时，在单调递增；

⑵当时，，在单调递减。

故．w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【巩固】

1.已知函数，其中

若在x=1处取得极值，求a的值；

求的单调区间；

（Ⅲ）若的最小值为1，求a的取值范围。

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

【解析】（Ⅰ）

∵在x=1处取得极值，∴解得

（Ⅱ）

∵∴

①当时，在区间∴的单调增区间为

②当时，

由

∴

（Ⅲ）当时，由（Ⅱ）①知，

当时，由（Ⅱ）②知，在处取得最小值

综上可知，若得最小值为1，则a的取值范围是

2.已知函数.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅰ）求的最小正周期；

（Ⅱ）求在区间上的最大值和最小值.

【解析】∵，

∴函数的最小正周期为.

（Ⅱ）由，∴，

∴在区间上的最大值为1，最小值为.

【拔高】

1.已知关于x的函数f（x）＝＋bx2＋cx＋bc,其导函数为f+（x）.令g（x）＝∣f+（x）∣,记函数g（x）在区间[-1、1]上的最大值为M.

（Ⅰ）如果函数f（x）在x＝1处有极值-，试确定b、c的值：

（Ⅱ）若∣b∣>1,证明对任意的c,都有M>2:

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（Ⅲ）若M≧K对任意的b、c恒成立，试求k的最大值。

【解析】，由在处有极值

可得

解得或

若，则，此时没有极值；

若，则

当变化时，，的变化情况如下表：

1

0

+

0

极小值

极大值

当时，有极大值，故，即为所求。

（Ⅱ）证法1：

当时，函数的对称轴位于区间之外。

在上的最值在两端点处取得

故应是和中较大的一个

即

证法2（反证法）：

因为，所以函数的对称轴位于区间之外，

在上的最值在两端点处取得。

故应是和中较大的一个

假设，则

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

将上述两式相加得：

，导致矛盾，

（Ⅲ）解法1：

（1）当时，由（Ⅱ）可知；

（2）当时，函数）的对称轴位于区间内，w.w.w.k.s.5.u.c.o.m此时

由有

①若则，

于是

②若，则

于是

综上，对任意的、都有

而当时，在区间上的最大值

故对任意的、恒成立的的最大值为。

解法2：

（1）当时，由（Ⅱ）可知；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）当时，函数的对称轴位于区间内，

此时

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m，即

2.已知函数,其中w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（1）当满足什么条件时,取得极值?

（2）已知,且在区间上单调递增,试用表示出的取值范围.

【解析】

（1）由已知得,令,得,

要取得极值,方程必须有解,

所以△,即,此时方程的根为

,

所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当时,

x

（-∞,x1）

x1

（x1,x2）

x2

（x2,+∞）

f’（x）

＋

0

－

0

＋

f（x）

增函数

极大值

减函数

极小值

增函数

所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.

当时,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

x

（-∞,x2）

x2

（x2,x1）

x1

（x1,+∞）

f’（x）

－

0

＋

0

－

f（x）

减函数

极小值

增函数

极大值

减函数

所以在x1,x2处分别取得极大值和极小值.

综上,当满足时,取得极值.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

（2）要使在区间上单调递增,需使在上恒成立.

即恒成立,所以

设,,

令得或（舍去）,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

当时,,当时,单调增函数;

当时,单调减函数,

所以当时,取得最大,最大值为.

所以

当时,,此时在区间恒成立,所以在区间上单调递增,当时最大,最大值为,所以

综上所述,当时,;当时,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m