球的切接问题专题.doc

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专题：

球的切接问题

一．知识点

1．正方体的内切球：

球与正方体的每个面都相切，切点为每个面的中心，显然球心为正方体的中心。

设正方体的棱长为，球半径为。

如图1，截面图为正方形的内切圆，得；

2与正方体各棱相切的球：

球与正方体的各棱相切，切点为各棱的中点，

如图2作截面图，圆为正方形的外接圆，易得。

3正方体的外接球：

正方体的八个顶点都在球面上，

如图3，以对角面作截面图得，圆为矩形的外接圆，易得。

图1

图2

图3

图4

4.正四面体的外接球和内切球

如图4所示，设点是内切球的球心，正四面体棱长为．由图形的对称性知，点也是外接球的球心．设内切球半径为，外接球半径为．

正四面体的表面积．

小结:

正四面体内切球半径是高的，外接球半径是高的

5.长方体的外接球：

即正方体的各顶点都在球面上。

设长方体的棱长分别为a，b，c。

怎么作平面截图来反映半径和边长的关系？

2R

联想正方体的外接球，过长方体的对角面的作截截面图

a

（4）

结论：

由图形（4）我们可以发现外接球的半径

二、题型与方法归类

例1、

（1）若棱长为3的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为________．

本题主要考查简单的组合体和球的表面积．画出球的轴截面可得，球的直径是正方体的对角线，所以有球的半径R＝，则该球的表面积为S＝4πR2＝27π.故填27π

（2）求棱长为1的正四面体外接球的体积．

R＝，

∴V球＝πR3＝π（）3＝π.

变式练习:

1已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱高为4，体积为16，则这个球的表面积（　　）

A．16π　　　　　　B．20πC．24π D．32π

2已知正方体外接球的体积是π，那么正方体的棱长等于（　　）

A．2B.C.D.

3.半径为R的球的外切圆柱（球与圆柱的侧面、两底面都相切）的表面积为________，体积为________．

例2、已知A、B、C、D是球O面上的四个点，OA、OB、OC两两垂直，且OA＝1,OB＝2,OC＝3，求球的体积与表面积。

球的表面积S=

变式训练：

如图所示，三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA=AC=，则三棱锥P-ABC的外接球的体积为

A.B.C.D.

例3..已知一个三棱锥的三视图如图2所示，

其中俯视图是顶角为的等腰三角形，

则该三棱锥的外接球体积为．

球体积为.

高考题演练

1.一个四面体各棱长都为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

A.3π     B．4π         C．  D 6π

2.正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，则该正六棱柱的外接球的表面积是（）A． 4πa2       B．5πa2       C．8πa2       D．10πa2

3.长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是（）

A．5     B． 7             C．             D．

4.已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上，则该球的体积为（  ）                                     

5.如图，在等腰梯形ABCD中，AB=2DC=2，∠DAB=60°，E为AB的中点，将△ADE与△BEC分别沿ED、EC向上折起，使A、B重合于点P，则P﹣DCE三棱锥的外接球的体积为（　　）

A．B．C．D．

6.已知矩形ABCD的顶点都在半径为4的球O的球面上，且AB=6，BC=2，则棱锥O﹣ABCD的体积为        ．

7.一个正方体的顶点都在一个球面上，已知这个球的表面积为3π，则正方体的棱长   ．

8.一个正方体的全面积为a2，它的顶点全都在一个球面上，则这个球的表面积为      

9.长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是        ．

10.如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为            ．

答案：

1.解答：

由于正四面体扩展为正方体，二者有相同的外接球，所以正方体的棱长为：

1，所以正方体的对角线的长度就是外接球的直径，所以球的半径为：

．

所以球的表面积为：

4πR2==3π．

2.解答：

正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的侧面是正方形，若底面的边长为a，

底面对角线的长度为：

2a；

所以该正六棱柱的外接球的半径为：

=．

所以该正六棱柱的外接球的表面积是：

4πr2==5πa2．

3.解答：

从A点出发，沿长方体的表面到C′有3条不同的途径，

分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是，，5，

比较三条路径的长度，得到最短的距离是5

4.D

5.解：

易证所得三棱锥为正四面体，它的棱长为1，故外接球半径为，外接球的体积为

6.解答：

矩形的对角线的长为：

，所以球心到矩形的距离为：

=2，

所以棱锥O﹣ABCD的体积为：

=8．

故答案为：

8

7.解答：

 ∵球的表面积为3π，∴球的半径为

∵正方体的顶点都在一个球面上，∴正方体的对角线为球的直径

设正方体的棱长为a，则∴a=1

8.解答：

 设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，[来源:

学+科+网]

依题意知R2=a2，即R2=a2，

∴S球=4πR2=4π•a2=．故答案为：

．

9.解答：

长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：

，

所以球的半径为：

；则这个球的表面积是：

=50π．

10.解答：

根据几何意义得出：

边长为8的正方形，球的截面圆为正方形的内切圆，

∴圆的半径为：

4，

∵球面恰好接触水面时测得水深为6cm，

∴d=8﹣6=2，∴球的半径为：

R=，R=5

∴球的体积为π×（5）3=πcm3故答案为．