球的主要性质.doc
《球的主要性质.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《球的主要性质.doc（6页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
球的主要性质
性质1.球的任意一个截面都是圆.其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面
都叫做球的小圆.
已知球的半径为.
（1）若截面经过球心.
如图1，设是截面与球面的任意一个交点，连接.
由球的定义可知，，所以点的轨迹是以为圆心，为
半径的圆，即该截面是圆.
（2）若截面不经过球心.
如图1，设球心在截面上的射影为，是截面与球面的任意一个交点，连接，
和，则为定值，且也为定值，所以为定值，
因此，点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，即该截面也是圆.
性质2.球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面.反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心.
如图2所示，若圆是球的小圆，则.
证明：
如图，设，分别是圆的两条直径，连接，
，，，.
依题意可得，所以.
同理可得，又因为，所以.
性质3.如图2，设球的半径为，球的小圆的圆心为，半径为，球心
到小圆的距离，则由性质2得，或.
性质4.球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心.
如图3，设球的两个平行截面的圆心分别为，，连接，
，由性质3可知，，又因为，
所以.同理可得，，且，
所以，，三点共线，因此，垂直于和，且.
性质5.球的直径等于球的内接长方体的对角线长.
性质6.若直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该球的球心是直棱柱的两
个底面的外接圆的圆心的连线的中点.
例1.（10年·第10题）设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一
个球面上，则该球的表面积为（）
（A）（B） （C）（D）
解：
如图，设球心为，半径为，底面△的中心为，
连接，和.依题意得，，，
，，故选（B）.
例2.直三棱柱的各顶点都在同一球面上.若，
，则此球的表面积等于.
解：
如图，设球心为，底面的外接圆的圆心为，半径为，连接，和.
由余弦定理得，
，再由正弦定理得，，，即.
又由性质6得，，此球的表面积.
性质7.设底面边长为，侧棱长为的正四棱锥的顶点都在一个球面上，则该球
的半径.
证明：
如图4，设正方形的中心为，球心为，连接
，，，则点在上，且.
依题意得，，，
即，.
例3.（11年·第15题）已知矩形的顶点都在半径为的球的球面上，且
，，则棱锥的体积为_______．
解：
如图，设点是点在底面上的射影，连接，
.依题意得，，
棱锥的体积为.
性质8.设正三棱锥的底面边长为，侧棱长为的所有顶点都在一个球
面上，则该球的半径.
证明：
如图5，设点在底面上的射影为，球心为，
半径为，则点在上，且.
依题意得，，，
即，
，即，.
例4.（15年·第9题）已知，是球的球面上两点，，为该球面
上的动点.若三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）
（A） （B）
（C） （D）
解：
如图，设球的半径为，，，
依题意可知，当，即时，三棱锥
体积取得最大值，这时有，，
球的表面积为，故选（C）.
例5.（12年·第11题）已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，△
是边长为的正三角形，为球的直径，且，则此棱锥的体积为（）
（A）（B）（C）（D）
解：
如图，连接，.为球的直径，是的中点，点到底
面的距离等于点到底面的距离的，
，三棱锥是正三棱锥，在底面
的射影等于，三棱锥的高，
，故选（A）.
例6.（08年·第14题）一个六棱柱的底面是正六边形，其侧棱垂直于底面．已知该
六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，底面周长为，则这个球的
体积为 .
解：
如图，在六棱柱中，连接，，，，和.
由平面几何知识可知，，，
是矩形，又由已知得，.
六棱柱的侧棱垂直于底面，
是长方体.
设，则六棱柱的体积为，
，该球的半径为，该球的体积为.
例7.已知球的直径，、是该球球面上的两点，，
，则棱锥的体积为（）
（A） （B） （C） （D）
解：
如图，是球的直径，，
又，，，.
过，连接，由平面几何的知识可知，，且，，棱锥的体积
，又，.
例8.高为的四棱锥的底面是边长为的正方形，点、、、、
均在半径为的同一个球面上，则底面的中心与顶点之间的距离为（）
（A） （B） （C） （D）
解：
如图，设四棱锥的外接球的球心为，顶点在底面的射影为，底面的中心为，连接，，，则依题意得.
在△中，，，，
过作，垂足为.
，，，
，是矩形，，
，.
例9.已知在半径为的球面上有、、、四点，若，则四面体
的体积的最大值为（）
（A）（B）（C）（D）
解：
如图，设球心为，连接，，，，则四面体可分为四个三棱锥，，和.
依题意得，而使得三棱锥和的
体积之和最大，只需即可.
同理，当时，三棱锥和体积之和最大，
因此，四面体的体积的最大值为，故选（B）.
6
升级会员 