清华附中高一上学期数学期末考试试题含详细解答.doc
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清华附中高一数学期末2015年1月
一．选择题（共5小题）
1．（2015•山东）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
3．（2015•武清区模拟）要得到函数y=cosx的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
4．（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：
分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
5．（2014•梅州一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
（3）下列函数中为偶函数的是（）
（A）y=x²sinx（B）y=x²cosx （C）Y=|lnx|（D）y=2x
7．如图，函数的图象为折线，则不等式的解集是
A．B．
C．D．
二．填空题（共4小题）
6．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=xsinx，x∈R，则f（），f
（1），f（）的大小关系为
7．（2012•封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 ．
8．（2013•桃城区校级一模）设函数f（x）=2sin（x+）．若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为 ．
9．（2015春•贵港期中）设定义在区间（0，）上的函数y=6cosx的图象与y=5tanx的图象交于点P，过点P作x轴的垂线，垂足为P1，直线PP1与函数y=sinx的图象交于点P2，则线段PP2的长为 ．
（10）2-3,3错误!
未找到引用源。
log25三个数中最大数的是
14．设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
三．解答题（共4小题）
10．（2014秋•淮阴区校级月考）如图所示，摩天轮的半径为40m，O点距地面的高度为50m，摩天轮作匀速转动，每3min转一圈，摩天轮上的P点的起始位置在最低处．
（1）试确定在时刻tmin时P点距离地面的高度；
（2）在摩天轮转动一圈内，有多长时间P点距离地面超过70m．
11．（2012春•抚顺期末）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示：
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式并写出其所有对称中心；
（Ⅱ）若g（x）的图象与f（x）的图象关于点P（4，0）对称，求g（x）的单调递增区间．
12．（2009•杨浦区一模）研究人员发现某种特别物质的温度y（单位：
摄氏度）随时间x（单位：
分钟）的变化规律是：
y=m2x+21﹣x（x≥0，并且m＞0）．
（1）如果m=2，求经过多少时间，该温度为5摄氏度；
（2）若该物质的温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围．
13．（2009•江苏）设a为实数，函数f（x）=2x2+（x﹣a）|x﹣a|．
（1）若f（0）≥1，求a的取值范围；
（2）求f（x）的最小值；
（3）设函数h（x）=f（x），x∈（a，+∞），求不等式h（x）≥1的解集．
（15）（本小题13分）
已知函数f（x）=
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最小值。
15．（13分）已知函数．
（Ⅰ）求的最小正周期；（Ⅱ）求在区间上的最小值．
2015年08月20日1482572436的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共5小题）
1．（2015•山东）设函数f（x）=，若f（f（））=4，则b=（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】函数的值；分段函数的应用．菁优网版权所有
【专题】开放型；函数的性质及应用．
【分析】直接利用分段函数以及函数的零点，求解即可．
【解答】解：
函数f（x）=，若f（f（））=4，
可得f（）=4，
若，即b＜，可得，解得b=．
若，即b＞，可得，解得b=﹣（舍去）．
故选：
D．
【点评】本题考查函数的零点函数值的求法，考查分段函数的应用．
2．（2014•北京）已知函数f（x）=﹣log2x，在下列区间中，包含f（x）零点的区间是（ ）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2，4） D．（4，+∞）
【考点】函数零点的判定定理．菁优网版权所有
【专题】函数的性质及应用．
【分析】可得f
（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，由零点的判定定理可得．
【解答】解：
∵f（x）=﹣log2x，
∴f
（2）=2＞0，f（4）=﹣＜0，
满足f
（2）f（4）＜0，
∴f（x）在区间（2，4）内必有零点，
故选：
C
【点评】本题考查还是零点的判断，属基础题．
3．（2015•武清区模拟）要得到函数y=cosx的图象，只需将函数的图象上所有的点的（ ）
A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平移个单位长度
D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平移个单位长度
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．菁优网版权所有
【专题】三角函数的图像与性质．
【分析】由条件根据y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律、诱导公式，可得结论．
【解答】解：
将函数的图象上所有的点的坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），
可得函数y=sin（x+）的图象；
再把所得图象向左平移个单位长度，可得函数y=sin（x++）=cosx的图象，
故选：
A．
【点评】本题主要考查诱导公式的应用，利用了y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．
4．（2014•北京）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：
分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【考点】进行简单的合情推理．菁优网版权所有
【专题】推理和证明．
【分析】由提供的数据，求出函数的解析式，由二次函数的图象与性质可得结论．
【解答】解：
将（3，0.7），（4，0.8），（5，0.5）分别代入p=at2+bt+c，可得，
解得a=﹣0.2，b=1.5，c=﹣2，
∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2，对称轴为t=﹣=3.75．
故选：
B．
【点评】本题考查了二次函数模型的应用，考查利用二次函数的图象与性质求函数的最值问题，确定函数模型是关键．
5．（2014•梅州一模）若直角坐标平面内的两点P、Q满足条件：
①P、Q都在函数y=f（x）的图象上；
②P、Q关于原点对称，则称点对[P，Q]是函数y=f（x）的一对“友好点对”（点对[P，Q]与[Q，P]看作同一对“友好点对”），
已知函数f（x）=，则此函数的“友好点对”有（ ）
A．0对 B．1对 C．2对 D．3对
【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．菁优网版权所有
【专题】压轴题；新定义．
【分析】根据题意：
“友好点对”，可知，欲求f（x）的“友好点对”，只须作出函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的图象，看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可．
【解答】解：
根据题意：
当x＞0时，﹣x＜0，则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）=﹣x2+4x，
可知，若函数为奇函数，可有f（x）=x2﹣4x，
则函数y=﹣x2﹣4x（x≤0）的图象关于原点对称的函数是y=x2﹣4x
由题意知，作出函数y=x2﹣4x（x＞0）的图象，
看它与函数f（x）=log2x（x＞0）交点个数即可得到友好点对的个数．
如图，
观察图象可得：
它们的交点个数是：
2．
即f（x）的“友好点对”有：
2个．
故答案选C．
【点评】本题主要考查了奇偶函数图象的对称性，以及数形结合的思想，解答的关键在于对“友好点对”的正确理解，合理地利用图象法解决．
二．填空题（共4小题）
6．（2015•张家港市校级模拟）已知函数f（x）=xsinx，x∈R，则f（），f
（1），f（）的大小关系为
f（）＞f
（1）＞f（）
【考点】正弦函数的单调性；函数单调性的性质．菁优网版权所有
【分析】判断函数f（x）=xsinx是偶函数，推出f（）=f（），利用导数说明函数在[0，]时，得y′＞0，函数是增函数，
从而判断三者的大小．
【解答】解：
因为y=xsinx，是偶函数，f（）=f（），又x∈[0，]时，得y′=sinx+xcosx＞0，所以此时函数是增函数，
所以f（）＜f
（1）＜f（）
故答案为：
f（）＞f
（1）＞f（）．
【点评】本题是基础题，考查正弦函数的单调性，奇偶性，导数的应用，考查计算能力，导数大于0，函数是增函数，是解题的关键．
7．（2012•封开县校级模拟）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 2 ．
【考点】扇形面积公式．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】设扇形的圆心角的弧度数为α，半径为r，弧长为l，面积为S，由面积公式和周长可得到关于l和r的方程组，
求出l和r，由弧度的定义求α即可．
【解答】解：
S=（8﹣2r）r=4，r2﹣4r+4=0，r=2，l=4，|α|==2．
故答案为：
2．
【点评】本题考查弧度的定义、扇形的面积公式，属基本运算的考查．
8．（2013•桃城区校级一模）设函数f（x）=2sin（x+）．若对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则|x1﹣x2|的最小值为 2 ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．菁优网版权所有
【专题】计算题．
【分析】先求出函数的周期，对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，说明f（x1）取得最小值，f（x2）取得最大值，然后求出|x1﹣x2|的最小值．
【解答】解：
函数f（x）=2sin（x+）的周期T==4，
对任意x∈R，都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，
说明f（
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