温州中学第一学期高三理科数学试卷.doc

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瑞安市第六中学2012届高考模拟试卷（五）

温州中学2011学年第一学期期末考试

高三数学试卷（理科）

一、选择题：

1．若，其中，是虚数单位，则（▲）

A．-3 B．-2 C．2 D．3

2．的展开式中，的系数为（▲）

A．-10 B．-5C．5 D．10

3．使不等式成立的充分不必要条件是（▲）

AB C D，或

4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值为（▲）

A．102 B．410 C．614 D．1638

5．设是三个不重合的平面，是不重合的直线，下列判断正确的是（▲）

A．若则B．若则

C．若则D．若则

6．已知，且，则为（▲）

A.B.C.D.

7．已知双曲线：

，左右焦点分别为，过的直线交双曲线左支于两点，则的最小值

为（▲）

A.B.11C.12D.16

8．已知不等式对于，恒成立，则实数的取值范围（▲）

A．B．C．D．

9．设等差数列的前项和为,若,则满足的正整数的值为（▲）

A.10B.11C.12D.13

10．在平面直角坐标系中，，映射将平面上的点对应到另一个平面直角坐标系上的点，则当点沿着折线运动时，在映射的作用下，动点的轨迹是（▲）

二、填空题：

本大题共7小题，每小题4分，共28分。

11．一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个球，则其中含红球个数的数学期望是.

12．已知点是抛物线上的点，则以点为切点的抛物线的切线方程为.

13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

▲.

14．已知直线上个点最多将直线分成段，平面上条直线最多将平面分成部分（规定：

若则），则类似地可以推算得到空间里个平面最多将空间分成▲部分

15．若函数在区间为整数）上的值域是，则满足条件的数对共有▲对；

16．【原创】已知，，点是线段上的一点，且，则的取值范围是▲.

17．若沿三条中位线折起后能拼接成一个三棱锥，则称为“和谐三角形”。

设三个内角分别为、、，则下列条件中能够确定为“和谐三角形”的有▲.（请将符合题意的条件序号都填上）

①；②；

③；④。

三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

18．已知，且.

（1）求；

（2）当时，求函数的值域.

19．已知数列，，且，

（1）若成等差数列，求实数的值；

（2）数列能为等比数列吗？

若能，

试写出它的充要条件并加以证明；若不能，请说明理由。

20．如图，几何体为正四棱锥，几何体为正四面体.

（1）求证：

；

（2）求与平面所成角的正弦值.

21．已知抛物线的焦点F到直线的距离为．

（1）求抛物线的方程；

（2）如图，过点F作两条直线分别交抛物线于A、B和C、D，过点F作垂直于轴的直线分别交和于点.

求证：

．

22．（本题满分共15分）已知函数

（1）当时，试判断函数的单调性；

（2）当时，对于任意的，恒有，求的最大值．

参考答案：

一：

选择题。

1.D2.D3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.C10.A

二：

填空题。

11.12.13.14.15.402516.

三：

解答题。

18.解：

（1）因为，

所以，又，故

（2）由

（1）得，

所以

因为，所以

即，即

因此，函数的值域为

19.解.（Ⅰ），

因为，所以，得

（Ⅱ）方法一：

因为，所以，

得：

，故是以为首项，

-1为公比的等比数列，

所以，得：

为等比数列为常数，易得当且仅当时，为常数。

方法二：

因为，所以，

即，故是以为首项，-2为公比的成等比数列，

所以，得：

（下同解法一）

方法三：

由前三项成等比得，进而猜测，对于所有情况都成立，再证明。

20.

（1）解法一:

取的中点，连结，由几何体为正四面体得，，所以平面，从而.

连结交于点,连结得平面,

，所以平面，从而.又

所以平面，从而.

解法二:

因为几何体为正四棱锥，几何体为正四面体.

故可设

取的中点，连结，由题意知

故是二面角的平面角，是二面角的平面角,

在中，，

所以，

在中，，

所以

从而，从而四点共面，

故四边形为菱形，从而

（2）由解法二知四边形为菱形，于是，∥，

所以点到平面的距离等于点到平面的距离，

设点到平面的距离为，由得：

进而得，所以与平面所成角的正弦值

解法三：

如图，以OB为x轴，OC为y轴，OP为z轴建立空间直角坐标系。

不妨设|OB|=1，则B（1,0,0），C（0,1,0），D（-1,0,0），A（0,-1,0）

因为为正四面体，所以为正三角形，所以，所以，因此P（0,0,1）。

设的重心为M，则面PCB，又也为正三棱锥，因此面PCB，因此O、M、Q三点共线，所以OQ垂直面PCB，即是平面PCB的一个法向量，

由，易得平面PCB的一个法向量可以取，所以不妨设Q（a,a,a），则，因为解得a=1，所以Q（1,1,1）。

（1），，，所以；

（2）设面PAD的一个法向量为，，，由

解得一个法向量，

所以，

所以QD与平面PAD所成角的正弦值为。

21解：

（1）焦点，由已知得，且，解得，

故所求抛物线的方程为.

（2）设直线的方程为：

，

直线的方程为：

，

令

将两条直线的方程代入抛物线方程得：

于是有：

，

同理得：

，

故

，同理

所以直线的方程为：

，①

直线的方程为：

，②

将代入①式得：

将代入②式得：

所以，即

22．解：

（1）

当时，，，故在区间，上单调递增，在上单调递减；

当时，，，故在区间，上单调递增，在上单调递减；

当时，恒有，

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

当时，在区间上单调递增

当时，在，上单调递增，在上单调递减；

（2）

解法一：

设函数，即在上恒成立。

即为的最小值。

。

故在区间上单调递减，在区间单调递增。

故，

解法二：

即与点连线斜率的最小值在时取到。

设

则，即，

又，故

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