浅谈中学数学不等式的证明方法.doc

浅谈中学数学不等式的证明方法.doc

《浅谈中学数学不等式的证明方法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈中学数学不等式的证明方法.doc（22页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

本科生毕业论文

学院数学与计算机科学学院

专业数学与应用数学

届别2015届

题目浅谈中学数学不等式的证明方法

学生姓名徐亚娟

学号201111401138

指导教师吴万勤

教务处制

云南民族大学毕业论文（设计）原创性声明

本人郑重声明：

所呈交的毕业论文（设计），是本人在指导教师的指导下进行研究工作所取得的成果。

除论文中已经注明引用的内容外，本论文没有抄袭、剽窃他人已经发表的研究成果。

本声明的法律结果由本人承担。

毕业论文（设计）作者签名：

日期：

年月日

……………………………………………………………………………

关于毕业论文（设计）使用授权的说明

本人完全了解云南民族大学有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，即：

学校有权保留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容，可以采用影印或其他复制手段保存论文（设计）。

（保密论文在解密后应遵守）

指导教师签名：

论文（设计）作者签名：

日期：

年月日

目录

摘要 4

引言 6

1、预备知识 6

1.1不等式的概念 6

1.2不等式的性质 6

1.3基本不等式 7

1.4几个重要不等式 7

1.4.1柯西不等式 7

1.4.2伯努利不等式 7

2、证明不等式的常用方法 7

2.1比较法 8

2.1.1求差法 8

2.1.2求商法 8

2.1.3过度比较法 8

2.2分析法 9

2.3综合法 9

2.4缩放法 10

2.4.1放缩法的常见技巧 10

2.5反推法 10

2.6数学归纳法 11

2.7反证法 11

2.7.1反证法的基本思路 11

2.7.2反证法的步骤 11

2.8判别式法 12

2.9等式法 12

2.10中值定理法 12

2.11排序法 12

2.12分解法 13

2.13函数极值法 13

3.利用构造法证明不等式 13

3.1构造函数模型 13

3.1.1构造一次函数模型 14

3.1.2构造二次函数模型 14

3.1.3构造单调函数证明不等式 14

3.2构造复数模型 14

3.3构造方程法 15

4.换元法证明不等式 15

4.1.三角换元法 15

4.2均值换元 16

4.3几何换元法 16

4.4增量换元法 17

5.利用著名不等式证明 17

5.1利用均值不等式 17

5.2柯西不等式证明法 18

5.3利用契比雪夫不等式 18

5.4利用绝对值不等式 18

5.5利用重要不等式 19

总结 19

参考文献：

20

致谢 21

浅谈中学数学不等式的证明方法

徐亚娟

云南民族大学数学与计算机科学学院

摘要

在中学数学中不等式是十分重要的内容，渗透在中学数学各个分支中，有着十分广泛的应用。

因此不等式的应用体现了一定的综合性、灵活多样性，对数学各部分知识融会贯通，起到了很好的促进作用。

在解决问题时，要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解或证明。

而不等式的证明，方法灵活多样，还和很多内容结合，所以具体问题具体分析是证明不等式的精髓。

不等式的证明问题也是各种思想方法的集中体现，因此难度较大。

解决这个问题的途径在于熟练掌握不等式的性质和一些基本不等式，灵活运用常用的证明方法。

在本文中，我总结了一些数学中证明不等式的方法。

在初等数学不等式的证明中常用到的方法是：

比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、换元法、换缩法、判别式法、函数法、几何法等等。

在高等数学不等式的证明中经常利用中值不等式、泰勒公式、拉格朗日函数、以及一些证明不等式，如：

均值不等式、柯西不等式、伯努利不等式等，从而使不等式的证明方法更加的完善，有利于我们进一步探讨和研究不等式的证明，通过学习这些方法，可以为我们解决一些实际问题，培养逻辑推理论证能力和抽象思维能力以及养成勤于思考、善于思考的良好学习习惯。

【1】

【关键词】中学数学；不等式；证明方法；函数

Abstract

Inthemiddleschoolinequalitiesareveryimportantcontent,penetrationinthemiddleschoolmathematicsbranches,hasaverywiderangeofapplications.Sotheinequalityreflectsthecomprehensiveapplication,certainflexibilityanddiversity,masteryofmathematicsknowledgeofeachpart,playedaverygoodroleinpromoting.Insolvingtheproblem,accordingtothequestionssetstructurecharacteristics,andconclusioninnerrelation,selectionoftheappropriatesolution,finallygotosolveorproofofinequality.Buttheinequalityproofmethod,flexible,andalotofcontentcombination,sotheconcreteanalysisofconcreteproblemsistheessenceoftheproofofinequality.Embodimentofprovinginequalitiesarealsoallkindsofmethodofthinking,sodifficult.Thewaytosolvethisproblemistomasterthenatureofinequalityandsomebasicinequalities,flexibilityintheuseofcommonlyusedmethodsofproof.Inthispaper,Isummarizedsomemathematicalinequalityproofmethods.Methodsintheelementarymathematicalproofinequalitytothecommonlyusedare:

thecomparativemethod,forcommercial,analysis,synthesismethod,mathematicalinductionmethod,reductiontoabsurdity,changeelementmethod,changetheshrinkagemethod,thediscriminantmethod,functionmethod,geometricmethodandsoon.Inequalityinhighermathematicsproofisusuallyusedinthemeanvalueinequality,Taylorformula,Lagrangefunction,aswellassomeproofofinequality,suchas:

meaninequality,Cauchyinequality,Bernoulliinequality,thusmakingthemethodtoproveinequalitymoreperfect,isfavorableforustofurtherexploreandresearchproofofinequality,throughthestudyofthesemethods,wecantosolvesomepracticalproblems,developlogicalreasoningabilityandabstractthinkingabilityanddevelopdiligentinthinking,goodatthinkingofgoodlearninghabits.

Keywords:

Middleschoolmathematics；Inequality；Theproofmethod；Function

引言

众所周知，在自然界中存在着大量的不等量关系，不等关系是基本的数学关系，在数学研究和数学应用中起着重要的作用。

因此，研究不等式的证明方法显得尤为重要，许多前辈在此领域取得了非常好的成绩，得出了许多证明不等式的方法，在他们的成绩基础上，本文对各种方法进行了归纳与总结。

证明不等式的方法灵活多样，内容丰富、技巧性较强。

所以我们在证明不等式时要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点。

通过等式或不等式的运算，将待证的不等式化为明显的、熟知的不等式，从而使原不等式得到证明；反之亦可从明显的、熟知的不等式入手，经过一系列的运算而导出待证的不等式，前者是“执果索因”，后者是“由因导果”，两者为沟通、联系的途径，证明时往往联合使用分析综合法，两面夹击，相辅相成，达到欲证的目的。

【2】

通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、复数、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，使数学知识间相互融合，得到全面透彻的理解，从而提高分析问题解决问题的能力。

在应用不等式的基本知识、方法、思想解决问题的过程中，提高学生数学素质及创新意。

1、预备知识

1.1不等式的概念

用不等号（如“≥”、“≤”、“＞”、“＜”等）连接两个代数式而成的式子叫做不等式.其中用“＞”或“＜”连接的式子叫严格不等式；用“≤”或“≥”连接的不等式叫做非严格不等式。

[3]

1.2不等式的性质

性质1:

如果a>b,b>c,那么a>c.（不等式的传递性）.

性质2：

如果x>y,那么yy;