江苏省南京市2016-2017学年高一(上)期末数学试卷(解析版).doc
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2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷
一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）
1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= ．
2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为 ．
3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为 ．
4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα= ．
5．若幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为 ．
6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 cm2．
7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为 ．
8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为 ．
9．若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为 ．
10．函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为 _．
11．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为
12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为 ．
13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f
（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为 ．
14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为 ．
二、解答题（共6题，90分）
15．已知=2．
（1）求tanα；
（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．
16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．
（1）求（+）•（2﹣）的值；
（2）求向量与+的夹角．
17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．
（1）试写出V（x）的解析式；
（2）记y=，当x为何值时，y最小？
并求出最小值．
18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的最下正周期为π，且点P（，2）是该函数图象的一个人最高点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若x∈[﹣，0]，求函数y=f（x）的值域；
（3）把函数y=f（x）的图线向右平移θ（0＜θ＜）个单位，得到函数y=g（x）在[0，]上是单调增函数，求θ的取值范围．
19．如图，在△ABC中，已知CA=1，CB=2，∠ACB=60°．
（1）求||；
（2）已知点D是AB上一点，满足=λ，点E是边CB上一点，满足=λ．
①当λ=时，求•；
②是否存在非零实数λ，使得⊥？
若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．
20．已知函数f（x）=x﹣a，g（x）=a|x|，a∈R．
（1）设F（x）=f（x）﹣g（x）．
①若a=，求函数y=F（x）的零点；
②若函数y=F（x）存在零点，求a的取值范围．
（2）设h（x）=f（x）+g（x），x∈[﹣2，2]，若对任意x1，x2∈[﹣2，2]，|h（x1）﹣h（x2）|≤6恒成立，试求a的取值范围．
2016-2017学年江苏省南京市高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题（共14小题，每小题5分，共70分）
1．若集合A={﹣1，0，1，2}，B={x|x+1＞0}，则A∩B= {0，1，2} ．
【考点】交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A，B，由此利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：
∵集合A={﹣1，0，1，2}，
B={x|x+1＞0}={x|x＞﹣1}，
∴A∩B={0，1，2}．
故答案为：
{0，1，2}．
2．函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为 {x|x＜1} ．
【考点】对数函数的定义域．
【分析】要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义，只需对数的真数大于0，建立不等式解之即可，注意定义域的表示形式．
【解答】解：
要使函数f（x）=log2（1﹣x）有意义
则1﹣x＞0即x＜1
∴函数f（x）=log2（1﹣x）的定义域为{x|x＜1}
故答案为：
{x|x＜1}
3．函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为 ．
【考点】三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用利用函数y=Asin（ωx+φ）的周期为，得出结论．
【解答】解：
函数f（x）=3sin（3x+）的最小正周期为，
故答案为：
．
4．已知角α的终边过点P（﹣5，12），则cosα= ．
【考点】任意角的三角函数的定义．
【分析】先求出角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r，再利用任意角的三角函数的定义cosα=求出结果．
【解答】解：
角α的终边上的点P（﹣5，12）到原点的距离为r=13，
由任意角的三角函数的定义得cosα==﹣．
故答案为﹣．
5．若幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），则a的值为 ．
【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．
【分析】根据幂函数y=xa的图象过点（4，2），代入数据求出a的值．
【解答】解：
幂函数y=xa（a∈R）的图象经过点（4，2），
所以4a=2，
解得a=．
故答案为：
．
6．若扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，则扇形的面积为 9 cm2．
【考点】扇形面积公式．
【分析】由题意求出扇形的半径，然后求出扇形的面积．
【解答】解：
因为：
扇形的弧长为6cm，圆心角为2弧度，
所以：
圆的半径为：
3，
所以：
扇形的面积为：
6×3=9．
故答案为：
9．
7．设，是不共线向量，﹣4与k+共线，则实数k的值为 ﹣ ．
【考点】平行向量与共线向量．
【分析】e1﹣4e2与ke1+e2共线，则存在实数λ，使得满足共线的充要条件，让它们的对应项的系数相等，得到关于K和λ的方程，解方程即可．
【解答】解：
∵e1﹣4e2与ke1+e2共线，
∴，
∴λk=1，λ=﹣4，
∴，
故答案为﹣．
8．定义在区间[0，5π]上的函数y=2sinx的图象与y=cosx的图象的交点个数为 5 ．
【考点】正弦函数的图象；余弦函数的图象．
【分析】画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象，即可得出结论．
【解答】解：
画出函数y=2sinx与y=cosx在一个周期[0，2π]上的图象如图实数：
由图可知，在一个周期内，两函数图象在[0，π]上有1个交点，在（π，2π]上有1个交点，
所以函数y=2sinx与y=cosx在区间[0，5π]上图象共有5个交点．
故答案为：
5．
9．若a=log32，b=20.3，c=log2，则a，b，c的大小关系用“＜”表示为 c＜a＜b ．
【考点】对数值大小的比较．
【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．
【解答】解：
∵a=log32∈（0，1），b=20.3＞1，c=log2＜0，
∴c＜a＜b．
故答案为：
c＜a＜b．
10．函数f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，则a的值为 1 _．
【考点】函数奇偶性的判断．
【分析】根据函数奇偶性的定义进行求解即可．
【解答】解：
∵f（x）=2x+a•2﹣x是偶函数，
∴f（﹣x）=f（x），
即f（﹣x）=2﹣x+a•2x=2x+a•2﹣x，
则（2﹣x﹣2x）=a（2﹣x﹣2x），
即a=1，
故答案为：
1
11．如图，点E是正方形ABCD的边CD的中点，若•=﹣2，则•的值为 3
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】建立直角坐标系，设出正方形的边长，利用向量的数量积求出边长，然后求解数量积的值．
【解答】解：
以A为坐标原点，AB为x轴，AD为y轴，设正方形的边长为2a，
则：
E（a，2a），B（2a，0），D（0，2a）
可得：
=（a，2a），=（2a，﹣2a）．
若•=﹣2，可得2a2﹣4a2=﹣2，解得a=1，
=（﹣1，2），=（1，2），
则•的值：
﹣1+4=3．
故答案为：
3．
12．已知函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，若点P是该函数图象上一点，则实数a的值为 2 ．
【考点】抽象函数及其应用；函数的图象．
【分析】求出函数的周期，然后利用点的坐标满足函数的解析式，推出结果即可．
【解答】解：
函数f（x）对任意实数x∈R，f（x+2）=f（x）恒成立，可得函数的周期为：
2，
f=f
（1）．且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=2x+a，
点P是该函数图象上一点，
可得21+a=8，解得a=2．
故答案为：
2．
13．设函数f（x）=﹣3x2+2，则使得f
（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为 0＜x＜3或x＞3 ．
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【分析】由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减，f
（1）＞f（log3x），1＜|log3x|，即可得出结论．
【解答】解：
由题意，f（﹣x）=f（x），函数是偶函数，x＞0递减
∵f
（1）＞f（log3x）
∴1＜|log3x|，
∴0＜x＜3或x＞3，
∴使得f
（1）＞f（log3x）成立的x取值范围为0＜x＜3或x＞3，
故答案为0＜x＜3或x＞3．
14．已知函数f（x）=，其中m＞0，若对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，则实数m的取值范围为 （0，） ．
【考点】分段函数的应用．
【分析】由f（x）的解析式，可得f（x+1）的解析式，画出f（x）的图象，向左平移一个单位可得f（x+1）的图象，由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得m的一个值，进而通过图象可得m的范围．
【解答】解：
由函数f（x）=，其中m＞0，
可得f（x+1）=，
作出y=f（x）的简图，向左平移1个单位，可得y=f（x+1），
由对任意实数x，都有f（x）＜f（x+1）成立，
只要f（x）的图象恒在f（x+1）的图象上，
由x≤﹣m，f（x）的图象与x≥m﹣1的图象重合，可得
2m=1﹣2m，解得m=，
通过图象平移，可得m的范围为0＜m＜．
故答案为：
（0，）．
二、解答题（共6题，90分）
15．已知=2．
（1）求tanα；
（2）求cos（﹣α）•cos（﹣π+α）的值．
【考点】三角函数的化简求值．
【分析】
（1）直接利用同角三角函数的基本关系，求得tanα的值．
（2）利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得要求式子的值．
【解答】解：
（1）∵已知=2=，∴tanα=5．
（2）cos（﹣α）•cos（﹣π+α）=sinα•（﹣cosα）===﹣．
16．已知向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．
（1）求（+）•（2﹣）的值；
（2）求向量与+的夹角．
【考点】平面向量数量积的运算；数量积表示两个向量的夹角．
【分析】
（1）利用向量的坐标求解所求向量的坐标，利用数量积运算法则求解即可．
（2）利用数量积求解向量的夹角即可．
【解答】解：
（1）向量=（﹣2，1），=（3，﹣4）．
（+）=（1，﹣3），（2﹣）=（﹣7，6）．
所以（+）•（2﹣）=﹣7﹣18=﹣25．
（2）+=（1，﹣3），
cos＜，+＞===﹣．
向量与+的夹角为135°．
17．如图，在一张长为2a米，宽为a米（a＞2）的矩形铁皮的四个角上，各剪去一个边长是x米（0＜x≤1）的小正方形，折成一个无盖的长方体铁盒，设V（x）表示铁盒的容积．
（1）试写出V（x）的解析式；
（2）记
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