求线面角的三种常见思路方法.doc
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求线面角的三种常见思路方法
舒云水
本文以2009年湖南卷理18题为例，介绍求线面角的三种常见思路方法，并对这三种方法作比较分析﹒
如图1，在正三棱柱中，，点D是的中点，点E在上，且．
（I）证明：
平面平面；
（II）求直线AD和平面所成角的正弦值．
（Ⅰ）证明略．
下面主要谈（Ⅱ）小题的解法﹒
思路1：
直接作出线面角求解﹒
分析：
因为本题几何图形是特殊的几何体——正三棱柱，点在特殊位置上——线段的中点，所以本题比较容易作出线面角﹒如图2，取的中点，连结，，，则面面，过作于，则面，连结，则是和平面所成的角﹒
解法1如图2，设是的中点，连结，，．由正三棱柱的性质及是的中点知，，．
又，所以平面．
而，
所以平面．又平面，故
平面平面．
过点作垂直于点，
则平面．
连结，则是直线和平面所成的角．
由已知，不妨设，则，，，
，，．
所以．
即直线AD和平面所成角的正弦值为．
思路2：
用等体积法求出点到面的距离，为所求线面角的正弦值．
分析如图3，连结，，即得四棱锥．用等体积法，即，容易求出点到平面的距离，为所求线面角的正弦值．
解法2：
如图3，连结，．因为平面平面，，所以平面．
不妨设，则，，，=.
易求，．
设在平面内的射影为，，连结，则是直线和平面所成的角．
因为，所以有
，
，
．
所以．
即直线AD和平面所成角的正弦值为．
思路3：
坐标向量法．
解法3如图4，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直
角坐标系，不妨设，则，相关各点的坐标分别是
，，，．
易知=（，1，0），=（0，2，），=．
设平面的一个法向量为（x，y，z），则有
解得，．
故可取．
所以．
由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为．
评析：
上题图形比较特殊，容易作出线面角，三种方法中解法1解法最简洁，解法1是首选．上题容易建立空间直角坐标系，容易求点的坐标，解法3也是不错的选择．方法2相对来说计算稍复杂一些，是最后的选择．
下面对上题的“Ⅱ小题”作两种变式，并对三种解法作比较评析．
变式1：
如图5，将题设条件“点D是的中点”改为“点D是棱上一点，”，其他不变．
解法1：
如图6，分别取，的中点，，设与交与点，在上取点，使，连结，，．
易证，，又，所以平面，又平面，所以平面平面，过作于，则平面，连结，则是直线和平面所成的角．
不妨设，则，，，，，
．
，
．
．
．
即直线AD和平面所成角的正弦值为．
解法2：
如图7，连结，取的中点，连结，则
，平面．
不妨设，则，，．
易求，．
设在平面内的射影为，，连结，则是直线和平面所成的角．
因为，所以有
，
，
．
所以．
即直线AD和平面所成角的正弦值为．
解法3：
如图8，同原题解法3建立空间直角坐标系，设，点，，，，及平面的法向量的坐标同前面解法3．不同的是：
，=．
所以．
由此即知，直线AD和平面所成角的正弦值为．
评析：
与原题解法1比较，变式1的解法1的作图与运算明显要复杂一些．比较变式1的三种解法，解法2和解法3比解法1要简单一些，解法1是最后的选择．
变式2：
原题题设不变，将结论改为“求直线和平面所成角的正弦值”．
解法1：
点不是特殊点，它在平面内的射影不好定位．可利用垂面法，作出点在平面内的射影．如图9，过作于，在平面内过作交于，连结，则平面，又平面，所以平面平面．再过作于，则平面，连结，则是直线和平面所成的角．这样虽然作出了线面角，但要求出运算很复杂，决定放弃此法．
解法2：
如图10，不妨设，则，，，．
取的中点，连结，易知平面，．
易求，．
设在平面内的射影为，，连结，则是直线和平面所成的角．
因为，所以有
，
，
．
所以．
即直线和平面所成角的正弦值为．
解法3：
如图4，同原题解法3建立空间直角坐标系，设，点，，，，及平面的法向量的坐标同原题解法3．不同的是：
，=．
所以．
由此即知，直线和平面所成角的正弦值为．
评析：
解法1的作图与运算很复杂，不可取．选择解法2和解法3比较合适．
综观原题与它们的两种变式的三种解法，各有千秋，都应掌握好.对于一道具体的题目来说究竟选择哪一种方法更好？
具体问题具体分析，需要根据题目所给的图形特征来确定：
若几何体容易作出线面角，解法1是最佳选择；若几何体不容易作出线面角，而比较容易建立坐标系和求相关点的坐标，向量法是最佳选择；若几何体不容易作出线面角，但能构造四面体用等体积法求斜线上一点到平面的距离，解法2也是比较不错的选择．
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