正弦定理、余弦定理基础练习.doc
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正弦定理、余弦定理
基础练习
1.在△ABC中:
(1)已知、、,求b;
(2)已知、、,求.
2.在△ABC中(角度精确到1°):
(1)已知、c=7、B=60°,求C;
(2)已知、b=7、A=50°,求B.
3.在△ABC中(结果保留两个有效数字):
(1)已知a=5、b=7、C=120°,求c;
(2)已知、c=7、A=30°,求a.
4.在△ABC中(角度精确到1°):
(1)已知、b=7、,求A;
(2)已知、、,求C.
5.根据下列条件解三角形(角度精确到1°,边长精确到0.1):
(1);
(2);
(3);
(4)C=20 ,a=5,c=3;
(5);
(6).
6.选择题:
(1)在△ABC中,下面等式成立的是( ).
A. B.
C. D.
(2)三角形三边之比为3∶5∶7,则这个三角形的最大角是( ).
A.60° B.120° C.135° D.150°
(3)在△ABC中,,,B=30°,则( ).
A., B.,
C., D.,
(4)在△ABC中、、,则( ).
A. B. C.5 D.10
7.填空题:
(1)△ABC中、、面积,则_______;
(2)在△ABC中,若,则△ABC的形状是_______.
8.在△ABC中,,求角C.
综合练习
1.设方程有重根,且A、B、C为△ABC的三内角,则△ABC的三边、b、c的关系是( ).
A.b=ac B.a=bc C.c=ab D.
2.在△ABC中、,,垂足为D,则的值等于( )
A. B. C. D.
3.等腰三角形的底角正弦和余弦的和为,则它的顶角是( ).
A.30°或150°B.150或75° C.30° D.15°
4.在△ABC中,则这个三角形是( )三角形.
A.锐角 B.钝角 C.直角 D.等边
5.在△ABC中,则△ABC是( ).
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.无法确定其形状
6.在△ABC中,是的( )条件.
A.充分非必要 B.必要非充分
C.充要 D.既不充分也不必要
7.在锐角△ABC中,若,则的范围为( ).
A. B. C.(0,2) D.
8.已知A为三角形的一个内角,函数,对于任意实数x都有,则( ).
A. B.
C. D.
9.已知锐角三角形的边长为2、3、x,则x的取值范围是( ).
A. B.
C. D.
10.在△ABC中,若面积,则cosA等于( ).
A. B. C. D.
11.在△ABC中、、,则________.
12.在△ABC中,若,则________.
13.在△ABC中,若,则△ABC的形状是________.
14.△ABC的面积和外接圆半径都是1,则=________.
15.在△ABC中,,则△ABC的形状是________.
16.如图5-8,∠A=60°,∠A内的点C到角的两边的距离分别是5和2,则AC的长为________.
图5-8
17.已知A为锐角三角形一个内角,且,,则的值为________.
18.在△ABC中,若,,,则的值为________.
19.在△ABC中,已知,,,求B和的面积.
20.在△ABC中,已知,求角C.
21.在△ABC中,内角A最大,C最小,且,若,求此三角形三边之比.
22.已知三角形的三边长分别为、、,求这个三角形中最大角的度数.
拓展练习
1.三角形三边长是连续整数,最大角是最小角的2倍,则最小角的余弦等于( ).
A. B. C. D.
2.在中,P表示半周长,R表示外接圆半径,下列各式中:
① ②
③ ④
正确的序号为( ).
A.①、④ B.①、②、④ C.①、②、③ D.②、③、④
3.在△ABC中,若,则有( ).
A. B. C. D.
4.在△ABC中,,则此三角形为( ).
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
5.在△ABC中,若,且B为锐角,则△ABC的形状是________.
6.设A是△ABC中的最小角,且,则的取值范围是_______.
7.如图5-9,在平面上有两定点A和B,,动点M、N满足.记△AMB和△MNB的面积分别为S、T,问在什么条件下,取得最大值?
图5-9
8.在△ABC中,已知C=2B,求证:
.
图5-10
9.圆O的半径为R,其内接△ABC的三边a、b、c所对的角分别为A、B、C,若,求△ABC面积的最大值.
10.若ABC是半径为r的圆的弓形,弦AB长为,C为劣弧上一点,
于D,当C点在什么位置时△ACD的面积最大,并求此最大面积(如图5-10).
参考答案
基础练习
1.
(1)
(2).
2.
(1),
(2).
3.
(1),
(2).
4.
(1).,
(2).
5.
(1),,;
(2),,;
(3),,;
(4),°,或,,;
(5),,;
(6),,.
6.
(1)B.;
(2)B.三角形中大边对大角,由余弦定理,求出最长的边所对角的.
(3)A.由正弦定理,得,将代入解得b、c的值;
(4)C.由余弦定理,,即,解关于的方程,得.
7.
(1)或,由面积公式:
,即,解得,从而求出A;
(2)等腰三角形或直角三角形,由余弦定理得,整理得,则或,所以,或.
8..由正弦定理:
,可将已知的三个角的正弦关系转化为三边关系:
,即,再利用余弦定理:
,所以,.
综合练习
1.D. 方程有重根,∴ ,即.由正弦定理,得.
2.C.设AB=a,则,.由面积关系式:
,得.
3.A.设等腰三角形顶角为、底角为,则,两边平方,解得,即.∴ .又∵ a为顶角,∴ 或.
4.D.由正弦定理得,即
,∴ .∴ .
5.C.∵ A、B、C为三角形的内角,又,∴ ,,,∴ C为钝角.
6.C.,
∵ A、B为三角形的内角,∴ .
∴ (R为外接圆半径).
由正弦定理,.
∴
.
∴ .
7.A.,
又 ∴ ,∴ .即.
8.B.由条件知即
∴ .又∵ 又∵ A为三角形的一个内角,∴ ,∴ .
9.B.设三边2、3、x所对的三个角分别为A、B、C,根据三角形任意两边之和大于第三边和余弦定理,有:
即∴ ∴ .
10.D.由三角形面积公式:
.∴ .∴ .∴ .由余弦定理,∴ .
∴ ,即.解得或为三角形的内角,∴ .
11..由余弦定理,.
.
12.1.,∴ .∴ .∴ .即.
13.等腰三角形,,∴
.
∴ .∴ ,.∴ ,即B=C.
14..设外接圆半径为R,则R=1.
由正弦定理.
设的面积为S,则S=1.由面积公式
,
.∴ .∴ .∴ .
15.直角三角形.由正弦定理、余弦定理,
.∴
.
整理,得.∵ a>0,b>0,∴ .∵ .
16.,由于A、E、C、F四点共圆,,连结EF,在中,由余弦定理:
.又由正弦定理可得AECF的外接圆直径.
图答5-7
17.,两式相减,
.,即.
..
18..由三角形面积公式,,,.由余弦定理,,.由正弦定理,.由等比定理可得:
.
19..,由正弦定理、余弦定理,,∴ ,,∴ .由正弦定理,.
.
20..设R外接圆半径,由正弦定理:
,
化简得:
,∴ .
再由余弦定理,得:
.∴ .
21..,由正弦定理:
,∴ .
,∴ .由余弦定理:
.
.,.
,...
22..为三角形的三边,
解得,.
是最大的边长.令其所对的角为,由余弦定理:
.
∴ ,即这个三角形中最大角的度数为.
拓展练习
1.A.设三角形三边为、n、,它们所对的角分别为C、B、A,则.则正弦定理,,.由余弦定理,..去分母得:
.∴ ,∴ ,∴ .
=.即最小角的余弦值为.
(法二)如图,中,,设,A、B、C三内角所对的三边分别为、、.在AB上取一点D,使.∴ .
∴ ∽.设CD为x,则DA为x,∴ .∴ .
∴ 即.∴ .∵ ,∴ .∴ 的三边长为4、5、6.由余弦定理,.∴ 最小角的余弦值为.
图答5-8
2.C.①正确.∵ ,由半角公式、余弦定理:
.
②正确.由积化和差公式、正弦定理:
.
③正确.如图:
作AB边上的高CD,则.∴ .或A、B中有一为钝角,同理可证得.(法二)由余弦定理,=
.
④错误.由正弦定理:
.
3.B.由正弦定理,得:
.
∴ .
∴ .
∴ .
∴ .即.∴ .
,∴ ,
∴ .
4.D.由正弦定理,.
∴ .
∴ .
∴ 或.
当时,A=B;
当时,,
∴ .
∴ 或.
5.等腰直角三角形.∵ ,∴ .∴ ,又B为锐角,∴ .又,由正弦定理,有.∵ ,
∴ .∴ .
∴ ,即.∴ .∴ ,∴ .∴ 是等腰直角三角形.
6..∵ A是中的最小角,∴ .∴ .即..
7.当为等腰三角形时,取得最大值.由余弦定理,
图答5-10
,
.
∴ .∴ .
.
∵ ,∴ .∴ ∴ 当时,取得最大值.此时,即,∴ 当为等腰三角形时,取得最大值.
8.,∴ .又∵ ,∴ .
设的外接圆半径为R,由正弦定理:
.
∴ .
9..∵ ,由正弦定理:
.∴ .∴ .
由余弦定理,.又∵ 0 ∴
=
=
=
∴ 当,即时,.
10..设,连结.
5-11
∵ ,,
∴ .∴ .
∴ .∵ 内接于圆O,由正弦定理,.
在中,
∴
∴ 当时,.
由,又,∴ ,∴ .
∴ 当时,面积最大,最大面积为.