极坐标、参数方程题型总结.doc

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极坐标、参数方程题型总结

一、大纲要求：

1.了解坐标系的作用。

了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况。

2.了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化。

3．能在极坐标系中给出简单图形的方程。

4.了解参数方程，了解参数的意义。

5.能选择适当的参数写出直线,圆和圆锥曲线的参数方程。

二基础知识：

1.把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为（x，y）和（ρ，θ），

则或。

2.若圆心为M（ρ0，θ0），半径为r的圆方程为

ρ2－2ρ0ρcos（θ－θ0）＋ρ02－r2＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程

（1）当圆心位于极点，半径为r：

ρ＝r；

（2）当圆心位于M（a,0），半径为a：

ρ＝ ；

（3）当圆心位于M，半径为a：

ρ＝ .

3.直线的极坐标方程

若直线过点M（ρ0，θ0），且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：

ρsin（θ－α）＝ρ0sin（θ0－α）．

几个特殊位置的直线的极坐标方程

（1）直线过极点：

θ＝θ0和θ＝π－θ0；

（2）直线过点M（a,0）且垂直于极轴：

ρcosθ＝a；

（3）直线过M（b，）且平行于极轴：

ρsinθ＝b.

4.常见曲线的参数方程的一般形式

（1）圆心在坐标原点，半径为r圆的参数方程为

圆心在，半径为r圆的参数方程为：

（2）椭圆的参数方程为：

（3）抛物线y2＝2px的参数方程为（t为参数）．

（4）在直线的参数方程（t为参数）中，

（1）t的几何意义是什么？

（2）如何利用t的几何意义求直线上任两点P1、P2的距离？

t表示在直线上过定点P0（x0，y0）与直线上的任一点P（x，y）构成的有向线段P0P的数量．

|P1P2|＝|t1－t2|＝.

5.两个结论：

已知点

（1）

（2）

三、题型归纳

题型一：

参数方程化普通方程

例1.已知直线为参数）,曲线（为参数）.

（Ⅰ）设与相交于两点,求；

（Ⅱ）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍,纵坐标压缩为原来的倍,得到曲线,设点是曲线上的一个动点,求它到直线的距离的最小值.

解.（I）的普通方程为的普通方程为

联立方程组解得与的交点为,,

则.----------5分

（II）的参数方程为为参数）.故点的坐标是,从而点到直线的距离是

由此当时,取得最小值,且最小值为.---------10分

训练1.已知极点与坐标原点O重合，极轴与x轴非负半轴重合，M是曲线C:

=4sin上任一点，点P满足．设点P的轨迹为曲线Q．

（1）求曲线Q的方程；

（2）设曲线Q与直线（t为参数）相交于A、B两点，且|AB|=4．求实数a．

（1）设，，①

则，代入①整理得，，

点轨迹方程为.……5分

（2）将为参数化为普通方程得，

由

（1）知曲线是圆心为,半径的圆，圆心到直线的距离.,解得或.……10分

2.曲线C：

曲线D：

。

（1）指出曲线C、D分别是什么曲线？

并说明曲线C与D公共点人的个数。

（2）若把曲线C、D上各点的纵坐标压缩为原来的倍，分别得到曲线C1、D1，请写出曲线C1、D1的参数方程，说明其公共点的个数和曲线C、D公共点是否相同？

3.点P为椭圆C：

上一点，若，求点P的坐标。

4．若直线与圆没有公共点，则实数m的范围是。

5.直线,曲线C：

（为参数）.

（1）当求：

直线与曲线C的交点坐标。

6.直线l:

，圆C：

则圆心C到直线的距离是。

题型二：

普通方程化为参数方程

例2.点为椭圆上一点，求

（1）的范围；

（2）若垣成立，求a的范围。

训练1.直线过点，倾斜角，

（1）写出的参数方程；

（2）直线与圆相交于A、B两点，求。

题型三：

极坐标化直角方程

例3．已知某圆的极坐标方程为

（I）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；

（II）若点在该圆上，求的最大值和最小值．

解（Ⅰ）；………3分

（为参数）………5分

（Ⅱ）因为，所以其最大值为6，最小值为2……………10分求曲线

训练1.两圆的极坐标方程为。

（1）把它们化为直角坐标方程；

（2）求两圆的交点所在直线的直角坐标方程。

2．已知圆与直线相切，求实数a的值。

3.与曲线的交点的极坐标。

题型四：

综合运用

例4.已知曲线C：

和定点，分别是曲线C的左、右两个焦点。

（1）以原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求直线的极坐标方程；

（2）经过，且与直线垂直的直线交此曲线于两点，求的值。

训练1.已知曲线C极坐标方程为，设直线的参数方程是。

设直线与x轴相交于于为曲线C上的动点，求的最大值。

2.直线的参数方程是。

曲线C极坐标方程为。

设直线与曲线C相交于于两点，点。

求。

4.曲线C：

，M是曲线C上的动点，点P满足。

（1）求点P的轨迹D的曲线方程；

（2）射线与曲线C相交于异与极点的A点，与曲线D相交于异与极点的B点，，求.

5.曲线的参数方程为（为参数），将曲线上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标伸长为原来的倍，得到曲线.以平面直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线.

（1）求曲线和直线的普通方程；

（2）为曲线上任意一点，求点P到直线的距离的最值.

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