最新高中数学解三角形实际应用题(详解).doc
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1.如图，某小区准备绿化一块直径为的半圆形空地，外的地方种草，的内接正方形为一水池,其余地方种花.若,设的面积为，正方形的面积为，将比值称为“规划合理度”.
（1）试用,表示和.
A
B
C
P
Q
R
S
（2）当为定值，变化时,求“规划合理度”取得最小值时的角的大小.
解：
（1）、如图，在ＡＢＣ中
，
＝
设正方形的边长为则
＝
…………………………………………………7分
（2）、而＝
∵0<<,又0<２<,０<£１为减函数
当时取得最小值为此时
2.某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西且与该港口相距20海里的A处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。
假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
（1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
【解析】如图，由
（1）得
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在A、C（包含C）的任意位置相遇，设，OD=，
由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，
所以，解得，
从而值，且最小值为，于是
当取得最小值，且最小值为。
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
3..如图，直角三角形ABC中，∠B＝，AB＝1，BC＝．点M,N分别在边AB和AC
上（M点和B点不重合），将△AMN沿MN翻折，△AMN变为△MN，使顶点落在边BC上（点和B点不重合）.设∠AMN＝．
（1）用表示线段的长度，并写出的取值范围；
（2）求线段长度的最小值．
解：
（1）设，则．（2分）
在Rt△MB中，，（4分）
A'
C
N
M
A
q
B
∴．（5分）
∵点M在线段AB上，M点和B点不重合，点和B点不重合，
∴．（7分）
（2）在△AMN中，∠ANM＝,（8分）
（9分）
＝．（10分）
令＝
＝．（13分）
∵，∴．（14分）
当且仅当，时，有最大值，（15分）
∴时，有最小值．（16分）
4.如图，某机场建在一个海湾的半岛上，飞机跑道AB的长为4.5km，且跑道所在的直线与海岸线l的夹角为60度（海岸线可以看作是直线），跑道上离海岸线距离最近的点B到海岸线的距离。
D为海湾一侧海岸线CT上的一点，设CD=x（km），点D对跑道AB的视角为。
（1）将表示为x的函数；
（2）求点D的位置，使取得最大值.
5.（2009辽宁卷理）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶。
测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为，，于水面C处测得B点和D点的仰角均为，AC=0.1km。
试探究图中B，D间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01km，1.414，2.449）
解:
在△ABC中，∠DAC=30°,∠ADC=60°－∠DAC=30,
所以CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD=BA， ……5分
在△ABC中，
即AB=
因此，BD=
故B，D的距离约为0.33km。
6.（2009福建卷理）（本小题满分13分）
如图，某市拟在长为8km的道路OP的一侧修建一条运动
赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM，该曲线段为函数
y=Asinx（A>0,>0）x[0,4]的图象，且图象的最高点为
S（3，2）；赛道的后一部分为折线段MNP，为保证参赛
运动员的安全，限定MNP=120
（I）求A,的值和M，P两点间的距离；
（II）应如何设计，才能使折线段赛道MNP最长？
解法一
（Ⅰ）依题意，有，，又，。
当时，
又
（Ⅱ）在△MNP中∠MNP=120°，MP=5，
设∠PMN=，则0°<<60°
由正弦定理得
故
0°<<60°，当=30°时，折线段赛道MNP最长
亦即，将∠PMN设计为30°时，折线段道MNP最长
解法二：
（Ⅰ）同解法一
（Ⅱ）在△MNP中，∠MNP=120°，MP=5，
由余弦定理得∠MNP=
即
故
从而，即
当且仅当时，折线段道MNP最长
注：
本题第（Ⅱ）问答案及其呈现方式均不唯一，除了解法一、解法二给出的两种设计方式，还可以设计为：
①；②；③点N在线段MP的垂直平分线上等
7.如图，在平面四边形中，已知，，且△为正三角形.
（Ⅰ）将四边形的面积表示为的函数；
（Ⅱ）求得最大值及此时的值.
命题意图：
强化一下三角在解三角形中的应用。
思考与建议：
07年海南、宁夏题中就是考查的三角在实际问题中的应用，同为新课表地区的广东，三角题今年是否会突破以前的传统，变成了一个应用题？
解：
（Ⅰ）△的面积，正△的面积
∴四边形的面积为
.
（Ⅱ）由，当，即时，四边形的面积最大，且最大值为.
8.如图，是沿湖南北方向道路,为太中观光岛屿,为停车场，km．某旅游团游览完岛屿后，乘游船回停车场Q,已知游船以km/h的速度沿方位角的方向行驶，．游船离开观光岛屿3分钟后，因事耽搁没有来得及登上游船的游客甲为了及时赶到停车地点与旅游团会合，立即决定租用小船先到达湖滨大道M处，然后乘出租汽车到点Q（设游客甲到达湖滨大道后能立即乘到出租车）．假设游客甲乘小船行驶的方位角是，出租汽车的速度为66km/h．
（Ⅰ）设，问小船的速度为多少km/h时，游客甲才能和游船同时到达点Q；
（Ⅱ）设小船速度为10km/h，请你替该游客设计小船行驶的方位角，当角余弦值的大小是多少时，游客甲能按计划以最短时间到达．
解：
（Ⅰ）如图，作,为垂足．
，，
在△中，
（km）,
=（km）．
在△中，
（km）．
设游船从P到Q所用时间为h，游客甲从经到所用时间为h，小船的速度为km/h，则
（h）,
（h）．
由已知得：
，，∴．
∴小船的速度为km/h时，游客甲才能和游船同时到达．
（Ⅱ）在△中，
（km）,（km）．
∴（km）．
∴＝．
∵,
∴令得：
．
当时，；当时，．
∵在上是减函数，
∴当方位角满足时，t最小，即游客甲能按计划以最短时间到达．
9.如图，是佛山市一环东线的一段，其中、、分别是林上路、佛陈路、花卉大道出口，经测量陈村花卉世界位于点的北偏东方向处，位于点的正北方向，位于点的北偏西方向上，并且．
（Ⅰ）求佛陈路出口与花卉世界之间的距离；（精确到0.1km）
（Ⅱ）求花卉大道出口与花卉世界之间的距离．（精确到0.1km）
（参考数据：
，，，，，，）
解：
（Ⅰ）设，则由余弦定理，
即，解得，舍去．所以.
故佛陈路出口B与花卉世界之间的距离约为．
（Ⅱ）在DABD中，由正弦定理得，所以.
在DCBD中，，
由正弦定理得，.
花卉大道出口与花卉世界之间的距离约为．
10.在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东且与点A相距40海里的位置B，经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东+（其中sin=，）且与点A相距10海里的位置C.
（1）求该船的行驶速度（单位：
海里/小时）;
（2）若该船不改变航行方向继续行驶.判断它是否会进入警戒水域，并说明理由.
解（I）如图，AB=40，AC=10，
由于,所以cos=
由余弦定理得BC=
所以船的行驶速度为（海里/小时）.…（6分）
（2）解法一如图所示，以A为原点建立平面直角坐标系，
设点B、C的坐标分别是B（x1，y2）,C（x1，y2）,BC与x轴的交点为D.由题设有，x1=y1=AB=40,x2=ACcos,
y2=ACsin所以过点B、C的直线l的斜率k=,直线l的方程为y=2x-40.又点E（0，-55）到直线l的距离d=
所以船会进入警戒水域.…………………………………（14分）
解法二如图所示，设直线AE与BC的延长线相交于点Q.
在△ABC中，由余弦定理得，
==.从而
在中，由正弦定理得，AQ=
由于AE=55>40=AQ，所以点Q位于点A和点E之间，且QE=AE-AQ=15.
过点E作EPBC于点P，则EP为点E到直线BC的距离.
在Rt中，PE=QE·sin
=所以船会进入警戒水域.
11.如图，一科学考察船从港口O出发，沿北偏东α角的射线OZ方向航行，而在离港口Oa（a为正常数）海里的北偏东β角的A处共有一个供给科考船物资的小岛，其中已知.现指挥部需要紧急征调沿海岸线港口O正东m海里的B处的补给船，速往小岛A装运物资供给科考船.该船沿BA方向全速追赶科考船，并在C处相遇.经测算当两船运行的航线与海岸线OB围成的三角形OBC的面积S最小时，这种补给最适宜.
（1）求S关于m的函数关系式S（m）；
（2）应征调m为何值处的船只，补给最适宜？
（I）以O点为原点，指北的方向为y轴建立直角坐标系，则直线OZ的方程为y=3x，
设点A（x0，y0），则x0=asinβ=3a，y0=acosβ=2a，即A（3a，2a），
又B（m，0），则直线AB的方程是y=，
由此得到C点坐标为，
；
（II），
∴当且仅当时等号成立，
答：
征调海里处的船只时，补给最适宜.
12.某地有三个村庄，分别位于等腰直角三角形ABC的三个顶点处，
已知AB=AC=6km，现计划在BC边的高AO上一点P处建造一个
变电站.记P到三个村庄的距离之和为y.
（1）设，把y表示成的函数关系式；
（2）变电站建于何处时，它到三个小区的距离之和最小？
【解】
（1）在中，所以=OA=.所以
由题意知.
所以点P到A、B、C的距离之和为
.
故所求函数关系式为.
（2）由
（1）得，令即，又，从而.
当时，；当时,.数学驿站
所以当时，取得最小值，
此时（km），即点P在OA上距O点km处.
【答】变电站建于距O点km处时，它到三个小区的距离之和最小.
A
C
D
B
13.如图，在四边形ABCD中，AD=8，CD=6，AB=13，∠ADC=90°，且．高.
（1）求sin∠BAD的值；高.考.资.源.网
（2）设△ABD的面积为S△ABD，△BCD的面积为S△BCD，求的值．
解
（1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
则AC=10，．
又∵，AB=13，∴．
∵，∴．
∴．
（2），，，
则，∴．
A
C
D
B
解
（1）在Rt△ADC中，AD=8，CD=6，
则AC=10，．
又∵，AB=13，w.w.w.k.s.5.u.c.
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