最新高中全国卷一北师大版高中数学必修一专题复习.doc
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高一数学必修一专题复习
北师大版高一数学必修一专题复习例题练习知识点讲解
第一章集合与函数概念
知识架构
集合
集
合
表
示
法
集
合
的
运
算
集
合
的
关
系
列
举
法
描
述
法
图
示
法
包
含
相
等
子集与真子集
交
集
并
集
补
集
函数
函数
及其表示
函数基本性质
单调性与最值
函数的概念
函数
的
奇偶性
函数的表示法
映射
映射的概念
集合与函数概念
第一讲集合
★知识梳理
一：
集合的含义及其关系
1.集合中的元素具有的三个性质:
确定性、无序性和互异性;
2.集合的3种表示方法：
列举法、描述法、韦恩图；
3.集合中元素与集合的关系：
文字语言
符号语言
属于
不属于
4.常见集合的符号表示
数集
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
复数集
符号
或
二：
集合间的基本关系
表示
关系
文字语言
符号语言
相等
集合A与集合B中的所有元素都相同
且
子集
A中任意一元素均为B中的元素
或
真子集
A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一元素不是A的元素
空集
空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集
，（）
三：
集合的基本运算
①两个集合的交集:
=;
②两个集合的并集:
=;
③设全集是U,集合,则
交
并
补
方法:
常用数轴或韦恩图进行集合的交、并、补三种运算.
★重、难点突破
重点：
集合元素的特征、集合的三种表示方法、集合的交、并、补三种运算。
难点：
正确把握集合元素的特征、进行集合的不同表示方法之间的相互转化，准确进行集合的交、并、补三种运算。
重难点：
1.集合的概念
掌握集合的概念的关键是把握集合元素的三大特性，要特别注意集合中元素的互异性，
在解题过程中最易被忽视，因此要对结果进行检验；
2．集合的表示法
（1）列举法要注意元素的三个特性；
（2）描述法要紧紧抓住代表元素以及它所具有的性质，如、、等的差别，如果对集合中代表元素认识不清，将导致求解错误：
问题：
已知集合（）
A.；B.；C.；D.
[错解]误以为集合表示椭圆，集合表示直线，由于这直线过椭圆的两个顶点，于是错选B
[正解]C；显然，，故
（3）Venn图是直观展示集合的很好方法，在解决集合间元素的有关问题和集合的运算时常用Venn图。
3．集合间的关系的几个重要结论
（1）空集是任何集合的子集，即
（2）任何集合都是它本身的子集，即
（3）子集、真子集都有传递性，即若，，则
4．集合的运算性质
（1）交集：
①；②；③；④，⑤；
（2）并集：
①；②；③；④，⑤；
（3）交、并、补集的关系
①；
②；
★热点考点题型探析
考点一：
集合的定义及其关系
题型1：
集合元素的基本特征
[例1]（2008年江西理）定义集合运算：
．设
，则集合的所有元素之和为（）
A．0；B．2；C．3；D．6
[解题思路]根据的定义，让在中逐一取值，让在中逐一取值，在值就是的元素
[解析]：
正确解答本题,必需清楚集合中的元素，显然，根据题中定义的集合运算知=，故应选择D
【名师指引】这类将新定义的运算引入集合的问题因为背景公平，所以成为高考的一个热点，这时要充分理解所定义的运算即可，但要特别注意集合元素的互异性。
题型2：
集合间的基本关系
[例2]．数集与之的关系是（）
A．；B．；C．；D．
[解题思路]可有两种思路：
一是将和的元素列举出来，然后进行判断；也可依选择支之间的关系进行判断。
[解析]从题意看，数集与之间必然有关系，如果A成立，则D就成立，这不可能；
同样，B也不能成立；而如果D成立，则A、B中必有一个成立，这也不可能，所以只能是C
【名师指引】新定义问题是高考的一个热点，解决这类问题的办法就是严格根据题中的定义，逐个进行检验，不方便进行检验的，就设法举反例。
[新题导练]
1．第二十九届夏季奥林匹克运动会将于2008年8月8日在北京举行，若集合A={参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B={参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C={参加北京奥运会比赛的女运动员}，则下列关系正确的是（）
A．B.C.D.
[解析]D；因为全集为，而=全集=
2．（2006•山东改编）定义集合运算:
设集合,,则集合的所有元素之和为
[解析]18，根据的定义，得到，故的所有元素之和为18
3．（2007·湖北改编）设和是两个集合，定义集合，如果，,那么等于
[解析]；因为，，所以
4．研究集合，，之间的关系
[解析]与，与都无包含关系，而；因为表示
的定义域，故；表示函数的值域，；表示曲线上的点集，可见，，而与，与都无包含关系
考点二：
集合的基本运算
[例3]设集合，
（1）若，求实数的值；
（2）若，求实数的取值范围若，
[解题思路]对于含参数的集合的运算，首先解出不含参数的集合，然后根据已知条件求参数。
[解析]因为，
（1）由知，，从而得，即
，解得或
当时，，满足条件；
当时，，满足条件
所以或
（2）对于集合，由
因为，所以
①当，即时，，满足条件；
②当，即时，，满足条件；
③当，即时，才能满足条件，
由根与系数的关系得，矛盾
故实数的取值范围是
【名师指引】对于比较抽象的集合，在探究它们的关系时，要先对它们进行化简。
同时，要注意集合的子集要考虑空与不空,不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况.
[新题导练]
6．若集合，，则是（）
A.；B.；C.；D.有限集
[解析]A；由题意知，集合表示函数的值域，故
集合；表示函数的值域，
，故
7．已知集合，，那么集合为（）A.；B.；C.；D.
[解析]D；表示直线与直线的交点组成的集合，A、B、C均不合题意。
8．集合,,且,求实数的值.
[解析]；先化简B得,.由于,故或.
因此或,解得或.
容易漏掉的一种情况是:
的情形,此时.
故所求实数的值为.
备选例题1：
已知，，则中的元素个数是（）
A.；B.；C.；D.无穷多个
[解析]选A;集合表示函数的值域,是数集,并且,而集合表示满足
的有序实数对的集合,即表示圆上的点,是点集。
所以，集合与集合中的元素均不相同，因而，故其中元素的个数为0
[误区分析]在解答过程中易出现直线与圆有两个交点误选C；或者误认为中，而中，从而有无穷多个解而选D。
注意，明确集合中元素的属性（是点集还是数集）是准确进行有关集合运算的前提和关键。
备选例题2：
已知集合和集合各有12个元素，含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合的个数：
（Ⅰ），且中含有3个元素；
（Ⅱ）（表示空集）
[解法一]因为、各有12个元素，含有4个元素，
因此，的元素个数是
故满足条件（Ⅰ）的集合的个数是
上面集合中，还满足的集合的个数是
因此，所求集合的个数是
[解法二]由题目条件可知，属于而不属于的元素个数是
因此，在中只含有中1个元素的所要求的集合的个数为
含有中2个元素的所要求的集合的个数为
含有中3个元素的所要求的集合的个数为
所以，所求集合的个数是
★抢分频道
U
B
A
基础巩固训练：
1．（09年吴川市川西中学09届第四次月考）设全集
则右图中阴
影部分表示的集合为（）
A．；B．；C．；D．
[解析]C；图中阴影部分表示的集合是，而，故
2.（韶关09届高三摸底考）已知则=
A．；B．；C．；D．
[解析]A；因为，，所以
3.（苏州09届高三调研考）集合的所有子集个数为
[解析]8；集合的所有子集个数为
4.（09年无锡市高三第一次月考）集合中的代表元素设为，集合中的代表元素设为，若且，则与的关系是
[解析]或；由子集和交集的定义即可得到结论
5．（2008年天津）设集合，则的取值范围是（）
A．；B．
C．或；D．或
[解析]A；，，
所以，从而得
综合提高训练：
6．,
则下列关系中立的是（）
A．;B．;C．;D．
[解析]A；当时，有，即
；当时，也恒成立，故
，所以
7.设，，，记
，，则＝（）
A.;B.;C.;D.
[解析]A；依题意得，，所以，
，故应选A
8．（09届惠州第一次调研考）设A、B是非空集合，定义
，已知A=，B=，
则A×B等于（）
A．；B．；C．；D．
[解析]D；，∴A=[0，2]，，∴B=（1，＋∞），
∴A∪B=[0,＋∞），A∩B=（1，2]，则A×B＝
第2讲函数与映射的概念
★知识梳理
1．函数的概念
（1）函数的定义：
设是两个非空的数集，如果按照某种对应法则，对于集合中的每一个数，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么这样的对应叫做从到的一个函数，通常记为
（2）函数的定义域、值域
在函数中，叫做自变量，的取值范围叫做的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合称为函数的值域。
（2）函数的三要素：
定义域、值域和对应法则
2．映射的概念
设是两个集合，如果按照某种对应法则，对于集合中的任意元素，在集合中都有唯一确定的元素与之对应，那么这样的单值对应叫做从到的映射，通常记为
★重、难点突破
重点：
掌握映射的概念、函数的概念，会求函数的定义域、值域
难点：
求函数的值域和求抽象函数的定义域
重难点：
1．关于抽象函数的定义域
求抽象函数的定义域，如果没有弄清所给函数之间的关系，求解容易出错误
问题1：
已知函数的定义域为，求的定义域
[误解]因为函数的定义域为，所以，从而
故的定义域是
[正解]因为的定义域为，所以在函数中，，
从而，故的定义域是
即本题的实质是求中的范围
问题2：
已知的定义域是，求函数的定义域
[误解]因为函数的定义域是，所以得到，从而
，所以函数的定义域是
[正解]因为函数的定义域是，则，从而
所以函数的定义域是
即本题的实质是由求的范围
即与中含义不同
2．求值域的几种常用方法
（1）配方法：
对于（可化为）“二次函数型”的函数常用配方法，如求函数，可变为解决
（2）基本函数法：
一些由基本函数复合而成的函数可以利用基本函数的值域来求，如函数就是利用函数和的值域来求。
（3）判别式法：
通过对二次方程的实根的判别求值域。
如求函数的值域
由得，若，则得，所以是函数值域中的一个值；若，则由得，故所求值域是
（4）分离常数法：
常用来求“分式型”函数的值域。
如求函数的值域，因为
，而，所以，故
（5）利用基本不等式求值域：
如求函数的值域
当时，；当时，，若，则
若，则，从而得所求值域是
（6）利用函数的单调性求求值域：
如求函数的值域
因，故函数在上递减、在上递增、在上递减、在上递增，从而可得所求值域为
（7）图象法：
如果函数的图象比较容易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法）。
★热点考点题型探析
考点一：
判断两函数是否为同一个函数
[例1]试判断以下各组函数是否表示同一函数
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