新课标数学必修4知识点总结.doc

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数学必修4知识小结

第一章《三角函数》

一，任意角与弧度制

1，角的定义：

一条射线绕着顶点旋转到另一个位置所成的图形。

逆时针方向旋转为正角，顺时针方向旋转为负角，不作任何旋转形成零角。

2，角的象限：

角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，则角的终边落在哪一个象限，这个角就称为哪一象限的角。

第一象限的角，第二象限的角，

第三象限的角，第四象限的角，

3，所有与角终边相同的角的集合：

4，弧度制：

如果半径为的圆的圆心角所对的弧长为，那么角的弧度数的绝对值是

弧度与角度的互化：

5，弧长公式：

扇形的面积公式：

其中分别为扇形的圆心角弧度、半径、弧长

强化训练：

1，已知角是第二象限角，试确定角，的终边所在的位置

2，

（1）若角与角的终边关于x轴对称，则与的关系是_____________________

（2）若角与角的终边关于原点对称，则与的关系是_____________________

3，如图所示，试分别表示终边落在阴影区域的角

4，若角是第四象限角，则是第_______象限角

5，在扇形中，已知半径为8，弧长为12，则圆心角是_________弧度，扇形面积是__________

6，已知一扇形的周长为40cm，当它的半径和圆心角各取多少时，才能使扇形的面积最大？

最大面积为多少？

二，任意角的三角函数

1，三角函数的第一定义：

设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

则，，

2，三角函数的第二定义：

设是一个任意角，在角的终边上任取一点，令

则，，

3，三角函数线：

有向线段MP，OM，AT分别为角的正弦线，

余弦线，正切线，合称三角函数线。

4，同角三角函数关系

平方关系：

商数关系：

5，与，与的大小关系



角的终边在阴影部分内，则

角的终边在阴影部分外，则

角的终边在阴影部分内，则

角的终边在阴影部分外，则

强化训练

1，已知角的终边上有一点，分别求的值

2，已知，试判断角所在的象限

3，在内，使成立的的取值范围是_____________

4，化简：

5，已知，且角为钝角，求的值

6，已知，求的值

7，已知，求下列各式的值

1）2）

8，已知，求1）2）3）

三，三角函数的诱导公式

诱导公式的规律：

奇变偶不变，符号看象限。

意思是：

的三角函数值可化为角的三角函数值。

（当k为奇数时，函数名改变;当k为偶数时，函数名不变。

角的函数值前面加上视为锐角时，原函数值在所在象限内的符号。

）

强化训练：

1，求下列各三角函数的值

（1）

（2）（3）

2，

（1）已知，求的值

（2）已知，求的值

3，已知，求的值

四，三角函数的图像和性质

1，正弦函数：

的性质

１）定义域为R，值域为2）最小正周期为

3）单调性单调增区间，单调减区间

4）奇偶性奇函数

5）对称性对称轴：

直线，对称中心：

点

2，余弦函数：

的性质

１）定义域为R，值域为2）最小正周期为

3）单调性单调增区间，单调减区间

4）奇偶性偶函数

5）对称性对称轴：

直线，对称中心：

点

3，正切函数：

的性质

１）定义域为，值域为2）最小正周期为

3）单调性单调增区间，

4）奇偶性奇函数

5）对称性对称中心：

点

4，三角函数的图像变换三种基本变换：

1）周期变换：

，纵坐标不变，横坐标变为原来的。

2）相位变换：

，向左或向右平移个单位。

“加左减右”

3）振幅变换：

，横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍。

，三个参数不同，所以要经过三个基本变换，每一个基本变换改变一个参数。

变换的步骤一般是先进行相位变换，再进行周期变换，最后进行振幅变换。

5，已知三角函数图像求三角函数，解析式

由最大（最小）值求出，由周期求出，由特殊点的坐标代入求出。

（注意，取零点时要注意是第一零点还是第二零点。

）

相邻的两个最高点或最低点的间距为一个周期；相邻的两个最值点的间距为半个周期；相邻的两个对称中心的间距为半个周期；最高点和与之相邻的对称中心的间距为四分之一个周期

强化训练：

1，函数的周期，振幅，初相分别是_______,________,_______

2，函数的图象的一条对称轴方程是（）

A．B.C.D.

3，要得到函数y=sin（2x-）的图象，只要将函数y=sin2x的图象（）

A.向左平行移动个单位B.向左平行移动个单位

C.向右平行移动个单位D.向右平行移动个单位

4，若函数的定义域为，则值域是（）

A.B.C.D.

5，函数的单调递增区间是_______________________

6，函数的定义域为__________________

7，如图是函数的图象的

一部分。

则函数的解析式是___________

8，函数由y=sinx（xR）的图象怎样变换得到的？

第二章《平面向量》

一，向量的基本概念

1，向量的定义：

既有大小又有方向的量，叫做向量。

2，向量的表示：

1）字母表示：

，

2）几何表示：

可以用有向线段表示向量，但有向线段不是向量。

3，向量的基本概念

1）模：

向量的大小，也就是向量的长度，也称为模，记作

2）零向量：

长度为0的向量

3）单位向量：

长度为1的向量

4）共线向量：

方向相同或相反的非零向量为共线向量，也称平行向量，记作。

5）相等向量：

长度相等且方向相同的向量称为相等向量。

6）相反向量：

长度相等且方向相反的向量称为相反向量。

强化训练

1，下列说法正确的是（）

（A）长度相等的向量就是相等向量（B）共线向量就是在一条直线上的向量

（C）零向量的长度是0（D）方向相同或相反的向量是平行向量

2，如图，三角形ABC的三边均不相等，E，F，D分别为AC，

AB，BC的中点

1）写出与共线的向量2）写出所有与模相等的向量

二，平面的线性运算

1，向量的加法

1）加法法则

C

A

B

C

（1）平行四边形法则：

共起点

（2）三角形法则：

首尾相连

D

B

A

2）相关结论

（1）

（2）（3）

A

B

C

2，向量的减法

减法法则三角形法则：

共起点。

3，数乘运算

1）定义：

规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记做。

长度与方向规定如下：

（1）

（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反

2）相关结论：

（1）

（2）（3）

（4）

3）向量共线定理：

为非零向量，则（为唯一确定的实数）

4）三点共线问题：

若A、B、C三点共线

推论：

若，则A、B、C三点共线

强化训练：

1，在平行四边形ABCD中则下列运算正确的是（）

2，化简下列各式，结果为零向量的个数为________个

1）2）3）4）

3，如图，已知平行四边形ABCD的边BC，CD的中点分别为E，F，且

，试用表示

4，设P是三角形ABC所在平面内的一点，，则（）

5，在三角形ABC中，已知D是AB边上的一点，若，，则

6，已知两非零向量，设，，，判断A，B，C的位置关系

三，平面向量基本定理及坐标表示

1，平面向量基本定理

1）平面向量基本定理：

如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数，使

2）基底：

不共线的两个向量，叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。

两个向量成为基底的唯一限制是不共线。

任意两个不共线的向量都可以作为平面的基底。

3）向量共线定理的推论：

若，，则（交叉相乘，积相等）

4）向量的夹角：

作，则叫做向量与的夹角。

显然，当时，，同向；当时，，反向，当时，称，垂直，记作。

2，平面向量的正交分解及坐标表示

1）正交分解：

把一个向量分解成两个相互垂直的两个向量，叫做平面向量的正交分解。

2）坐标表示：

取分别与x轴、y轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面内的一个向量，则。

我们将有序数对叫做向量的坐标，记作＝。

3）向量的坐标运算

若＝，＝，则

，，

4）向量平行的坐标表示

若＝，＝，则

强化训练

1，设为两个不共线的向量,与共线，则

2，在三角形ABC中，设，，点在线段上，且，则把用表示为。

3，ABCD的3个顶点为A（a,b）,B（-b,a）,C（0,0），则它的第4个顶点D的坐标是____________

4，已知ΔABC的三个顶点A、B、C及所在平面内一点P满足，则点P

与ΔABC的关系是：

……………………………………………………………（）

A、P在ΔABC内部B、P在ΔABC外部

C、P在直线AB上D、P在ΔABC的AC边的一个三等分点上

5，两点P（4,-9）,Q（-2,3）,y轴与直线PQ交于M且则为___________

6,如图，直线经过ΔABC的重心G，分别与AB，AC交于两点，

设，，则

7，如图，ΔABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，试用

表示

8，若向量，，，当与平行时，则=______

9，如图，平行四边形ABCD中，点E，F分别是BC，DC的

中点，G为BF，DE的交点，若，试以

表示

四，平面向量的数量积

1，数量积的定义：

两个非零向量，，我们把数量叫做向量与的数量积，记作，其中是向量，的夹角。

特别地，我们把叫做在方向上的投影。

2，数量积的几何意义：

数量积等于的长度与在的方向上的投影的乘积。

3，运算律：

1）＝2）＝＝3）＝

4，相关结论：

1）2）3）4）

5）6）

5，数量积的坐标表示：

若＝，＝，则

6，坐标运算的相关结论

1）若＝，则

2）若＝，＝，则

3）

7，向量与三角形的“四心”

已知点P是三角形所在平面内的一点，

1）若，则点P是三角形ABC的重心；

2）若，则点P是三角形ABC的垂心；

3）若，则点P是三角形ABC的外心；；

4）令若，则点P是三角形ABC的内心。

强化训练

1，若等边三角形ABC的边长是，平面内一点M满足，则。

2，若_________________

3，则向量在向量方向上的投影为___________________

4，若向量，，当与垂直时，求.

5，已知，，求及的夹角的余弦。

6，已知，,

（1）求的值；

（2）求的夹角；（3）求的值．

7，设、是两个不共线的单位向量，，那么实数x为何值时的值最小？

第三章三角恒等变换

一，两角和与差的公式

和角公式：

差角公式：

辅助角公式：

（）

二