若－≥q，则f（p）=M，f（q）=m。
（3）二次方程f（x）=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。
①方程f（x）=0的两根中一根比r大，另一根比r小a·f（r）<0；
②二次方程f（x）=0的两根都大于r
③二次方程f（x）=0在区间（p，q）内有两根
④二次方程f（x）=0在区间（p，q）内只有一根f（p）·f（q）<0，或f（p）=0（检验）或f（q）=0（检验）检验另一根若在（p，q）内成立。
四．【典例解析】
题型1：
方程的根与函数零点
例1．
（1）方程lgx+x=3的解所在区间为（）
A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，+∞）
（2）设a为常数，试讨论方程的实根的个数。
解析：
（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数y=lgx与y=-x+3的图象（如图）。
它们的交点横坐标，显然在区间（1，3）内，由此可排除A，D至于选B还是选C，由于画图精确性的限制，单凭直观就比较困难了。
实际上这是要比较与2的大小。
当x=2时，lgx=lg2，3-x=1。
由于lg2＜1，因此＞2，从而判定∈（2，3），故本题应选C。
（2）原方程等价于
即
构造函数和，作出它们的图像，易知平行于x轴的直线与抛物线的交点情况可得：
①当或时，原方程有一解；
②当时，原方程有两解；
③当或时，原方程无解
点评：
图象法求函数零点，考查学生的数形结合思想。
本题是通过构造函数用数形结合法求方程lgx+x=3解所在的区间。
数形结合，要在结合方面下功夫。
不仅要通过图象直观估计，而且还要计算的邻近两个函数值，通过比较其大小进行判断。
例2．（2008湖南理17）
已知函数.
（I）求函数的最小正周期；
（II）当且时，求的值
解：
由题设有．
（I）函数的最小正周期是
（II）由得即
因为,所以
从而
于是
题型2：
零点存在性定理
例3．设函数，其中常数为整数。
（1）当为何值时，；
（2）定理：
若函数在上连续，且与异号，则至少存在一点，使得
试用上述定理证明：
当整数时，方程在内有两个实根。
解析：
（1）函数f（x）=x－ln（x+m）,x∈（－m,+∞）连续，且
当x∈（－m,1－m）时,f’（x）<0,f（x）为减函数,f（x）>f（1－m）
当x∈（1－m,+∞）时,f’（x）>0,f（x）为增函数,f（x）>f（1－m）
根据函数极值判别方法，f（1－m）=1－m为极小值，而且
对x∈（－m,+∞）都有f（x）≥f（1－m）=1－m
故当整数m≤1时，f（x）≥1－m≥0
（2）证明：
由（I）知，当整数m>1时，f（1－m）=1-m<0,
函数f（x）=x－ln（x+m）,在上为连续减函数.
由所给定理知，存在唯一的
而当整数m>1时，
类似地，当整数m>1时，函数f（x）=x-ln（x+m）,在上为连续增函数且f（1-m）与异号，由所给定理知，存在唯一的
故当m>1时，方程f（x）=0在内有两个实根
点评：
本题以信息给予的形式考察零点的存在性定理。
解决该题的解题技巧主要在区间的放缩和不等式的应用上。
例4．若函数在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（）
A．若，不存在实数使得；
B．若，存在且只存在一个实数使得；
C．若，有可能存在实数使得；
D．若，有可能不存在实数使得；
解析：
由零点存在性定理可知选项D不正确；对于选项B，可通过反例“在区间上满足，但其存在三个解”推翻；同时选项A可通过反例“在区间上满足，但其存在两个解”；选项D正确，见实例“在区间上满足，但其不存在实数解”
点评：
该问题详细介绍了零点存在性定理的理论基础。
题型3：
二分法的概念
例5．关于“二分法”求方程的近似解，说法正确的是（）
A．“二分法”求方程的近似解一定可将在[a,b]内的所有零点得到；
B．“二分法”求方程的近似解有可能得不到在[a,b]内的零点；
C．应用“二分法”求方程的近似解，在[a,b]内有可能无零点；
D．“二分法”求方程的近似解可能得到在[a,b]内的精确解；
解析：
如果函数在某区间满足二分法题设，且在区间内存在两个及以上的实根，二分法只可能求出其中的一个，只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解，二分法的实施满足零点存在性定理，在区间内一定存在零点，甚至有可能得到函数的精确零点。
点评：
该题深入解析了二分法的思想方法
1.（2009福建卷文）若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是
A.B.
C.D.
答案A
解析的零点为x=,的零点为x=1,的零点为x=0,的零点为x=.现在我们来估算的零点，因为g（0）=-1,g（）=1,所以g（x）的零点x（0,）,又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，只有的零点适合，故选A。
题型4：
应用“二分法”求函数的零点和方程的近似解
例7．借助计算器，用二分法求出在区间（1，2）内的近似解（精确到0.1）。
解析：
原方程即。
令，
用计算器做出如下对应值表
x
－2
－1
0
1
2
f（x）
2.5820
3.0530
27918
1.0794
－4.6974
观察上表，可知零点在（1，2）内
取区间中点=1.5，且，从而，可知零点在（1，1.5）内；
再取区间中点=1.25，且，从而，可知零点在（1.25，1.5）内；
同理取区间中点=1.375，且，从而，可知零点在（1.25，1.375）内；
由于区间（1.25，1.375）内任一值精确到0.1后都是1.3。
故结果是1.3。
点评：
该题系统的讲解了二分法求方程近似解的过程，通过本题学会借助精度终止二分法的过程。
例8．借助计算器或计算机用二分法求方程的近似解（精确到）。
分析：
本例除借助计算器或计算机确定方程解所在的大致区间和解的个数外，你是否还可以想到有什么方法确定方程的根的个数？
略解：
图象在闭区间，上连续的单调函数，在，上至多有一个零点。
点评：
①第一步确定零点所在的大致区间，，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；
②建议列表样式如下：
零点所在区间
中点函数值
区间长度
[1，2]
>0
1
[1，1.5]
<0
0.5
[1.25，1.5]
<0
0.25
如此列表的优势：
计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步。
题型5：
一元二次方程的根与一元二次函数的零点
例9． 设二次函数，方程的两个根满足.当时，证明。
证明：
由题意可知，
∴,
∴当时，。
又,
∴,
综上可知，所给问题获证。
点评：
在已知方程两根的情况下，根据函数与方程根的关系，可以写出函数的表达式，从而得到函数的表达式
例10．已知二次函数，设方程的两个实数根为和.
（1）如果，设函数的对称轴为，求证：
；
（2）如果，，求的取值范围.
解析：
设，则的二根为和。
（1）由及，可得，即，
即
两式相加得，所以，；
（2）由,可得。
又，所以同号
∴，等价于
或,
即或
解之得或。
点评：
条件实际上给出了的两个实数根所在的区间，因此可以考虑利用上述图像特征去等价转化
题型6：
一元二次函数与一元二次不等式
例11．设，若，，,试证明：
对于任意，有。
解析：
∵,
∴,
∴.
∴当时，
当时，
综上，问题获证。
点评：
本题中，所给条件并不足以确定参数的值，但应该注意到：
所要求的结论不是确定值，而是与条件相对应的“取值范围”，因此，我们可以用来表示。
例12．已知二次函数，当时，有，求证：
当时，有
解析：
由题意知：
，
∴，
∴。
由时，有，可得。
∴,
。
（1）若，则在上单调，故当时，
∴此时问题获证.
（2）若，则当时，
又，
∴此时问题获证。
综上可知：
当时，有。
点评：
研究的性质，最好能够得出其解析式，从这个意义上说，应该尽量用已知条件来表达参数.确定三个参数，只需三个独立条件，本题可以考虑，，，这样做的好处有两个：
一是的表达较为简洁，二是由于正好是所给条件的区间端点和中点，这样做能
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