数学必修四第三章三角恒等变换单元检测题及答案.doc

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第三章三角恒等变换

一、选择题.

1.sin7°cos37°-sin83°sin37°的值为（）．

A. B. C. D.

2.sin15°sin30°sin75°的值等于（）．

A.B. C. D.

3.函数y=的周期为（）．

A. B. C.π D.2π

4.函数y=2sinx（sinx+cosx）的最大值是（）．

A. B. C. D.2

5.化简，其结果是（）．

A.sin2αB. sin2αC.-2sinα　　　　D.2sin2α

6.若sin（α+β）=，sin（α-β）=，则为（）．

A.5 B.-1 C.6 D.

7.设tanθ和tan是方程x2+px+q=0的两个根，则p，q之间的关系是（）．

A.p+q+1=0 B.p-q+1=0

C.p+q-1=0 D.p-q-1=0

8.若不等式4≤3sin2x-cos2x+4cosx+a2≤20对一切实数x都成立，则a的取值范围是（）．

A.-5≤a≤-3，或3≤a≤5 B.-4≤a≤4

C.-3≤a≤3 D.-4≤a≤-3，或3≤a≤4

9.若α∈，则等于（）．

A. B. C. D.

二、填空题.

1.=___________．

2.y=3sin（x+20°）+5sin（x+80°）的最大值为___________，最小值为__________．

3.若tan（α+β）=7，tanαtanβ=，则cos（α-β）=___________．

4.若θ为第二象限角，且sin＞，则=__________．

5.若α，β，γ都是锐角，tanα=，tanβ=，tanγ=，则α+β+γ=__________．

6.若A+B+C=（2n-1）π，n∈Z，且A，B，C均不为0，则

=__________．

三、解答题．

1.已知α，β为锐角，cosα=，tan（α-β）=-，求cosβ的值．

2.已知α，β均为锐角，且sinα-sinβ=-，cosα+cosβ=，求cos（α+β），

sin（α-β）的值．

3.已知tanA与tan是x2+px+q=0的两个解，3tanA=2tan，求p和q的值．

4.证明：

cos8α-sin8α-cos2α=-sin4αsin2α．

精炼检测5

参考答案

一、选择题．

1.B【解析】sin7°cos37°-sin83°sin37°

=cos83°cos37°-sin83°sin37°

=cos（83°+37°）=cos120°=-．

2.C【解析】sin15°sin30°sin75°

=cos75°sin75°sin30°

=sin150°sin30°=．

3.C【解析】y=

=sin2x-cos2x=-cos2x.∴T=．

4.A【解析】y=2sinx（sinx+cosx）

=2sin2x+2sinxcosx

=1-cos2x+sin2x

=1+．

∴ymax=1+．

5.A【解析】6.A【解析】sinαcosβ+cosαsinβ=，

sinαcosβ-cosαsinβ=．

∴2sinαcosβ=，

2cosαsinβ=．∴=5．

7.B

【解析】

．

∴，

．∴q-p=1，

∴p-q+1=0．

8.D【解析】设f（x）=3sin2x-cos2x+4cosx+a2，

4≤3-4cos2x+4cosx+a2≤20，

4≤-4cos2x+4cosx+a2+3≤20.

∴当cosx=时，

f（x）max=+a2+3≤20-4≤a≤4；

当cosx=-1时，

f（x）min=-4-4+a2+3≥4a≥3，或a≤-3.

∴-4≤a≤-3，或3≤a≤4．

9.C

【解析】

．

∵∈，∴∈．

∴原式=．

二、填空题．

1.1．

【解析】=tan（60º-15º）=tan45º=1．

2.7；-7．

【解析】y=3sin（x+20°）+5sin（x+80°）

=3sin（x+50°-30°）+5sin（x+50°+30°）

=3sin（x+50°）cos30°-3cos（x+50°）sin30°+5sin（x+50°）cos30°+

5cos（x+50°）sin30°

=4sin（x+50°）+cos（x+50°）

=7sin（x+50°+j）（j为常数）．

∴ymax=7，ymin=-7．

3.．

【解析】∵tan（α+β）=7，

∴根据同角三角函数关系，得cos（α+β）=．

∴cosαcosβ-sinαsinβ=．

∵tanαtanβ=，

∴3sinαsinβ=2cosαcosβ．.

∴cos（α-β）=，或cos（α-β）=.

4.1．【解析】∵2k+＜θ＜2k+，

∴k+＜＜k+．∴在第一、三象限．

∵sin=-cos＞，∴cos＜-．

∴在第三象限，且2k+＜θ＜2k+，k∈Z.

∴cos＞sin．所以

==1．

5.45º．

【解析】tan（α+β）=，且α，β为锐角，

∴α+β为锐角，又γ为锐角，

且tan（α+β+γ）==1．

∴α+β+γ=45º．

6.1．

【解析】原式=tan+tantan

=tantan+tantan

=tancot+tantan

=1．

三、解答题．

1.【解】∵cosα=，

∴sinα=．

∵α，β为锐角，

∴-＜α-β＜．

∵tan（α-β）=，

∴cos（α-β）=，sin（α-β）=

cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=．

2.【解】

①2+②2，得sin2α-2sinαsinβ+sin2β+cos2α+2cosαcosβ+cos2β=2.

∴cos（α+β）=0．

又α，β均为锐角，

∴α+β=，

∴sinα–sinβ=sinα-cosα=-．

sin2α+cos2α-2sinαcosα=1-2sinαcosα=．

又sin2α+cos2α=1，且sinα＜cosα，α，β均为锐角，

∴sinα=．

∴sin（α-β）=sin=-cos2α=2sin2α-1=．

3.【解】∵tan=，

∴3tanA=，

∴tanA=，或tanA=-2．

当tanA=时，tan=，

p=-=-，

q=×=．

当tanA=-2时，tan=-3，

p=-（-2-3）=5，

q=（-2）×（-3）=6．

4.【证明】cos8α-sin8α-cos2α

=（cos4α+sin4α）（cos2α+sin2α）（cos2α-sin2α）-cos2α

=（cos4α+sin4α）cos2α-cos2α

=（cos4α+sin4α-1）cos2α

=[cos4α+（sin2α-1）（sin2α+1）]cos2α

=[cos4α-cos2α（sin2α+1）]cos2α

=-2cos2αsin2αcos2α

=-sin4αsin2α．