数学归纳法习题.doc
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§11.5数学归纳法
（时间：
50分钟 满分：
75分）
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．（2011·怀化模拟）用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在
第二步时，正确的证法是（ ）
A．假设n＝k（k∈N＋），证明n＝k＋1命题成立
B．假设n＝k（k是正奇数），证明n＝k＋1命题成立
C．假设n＝2k＋1（k∈N＋），证明n＝k＋1命题成立
D．假设n＝k（k是正奇数），证明n＝k＋2命题成立
2．（2011·鹤壁模拟）用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋1）”时，由n＝
k（k>1）不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（ ）
A．2k－1B．2k－1
C．2kD．2k＋1
3．（2011·巢湖联考）对于不等式下：
（1）当n＝1时，<1＋1，不等式成立．
（2）假设当n＝k（k∈N*）时，不等式成立，即∴当n＝k＋1时，不等式成立，则上述证法（ ）
A．过程全部正确
B．n＝1验得不正确
C．归纳假设不正确
D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确
4．用数学归纳法证明“n2＋（n＋1）3＋（n＋2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k
＋1时的情况，只需展开（ ）
A．（k＋3）3B．（k＋2）3
C．（k＋1）3D．（k＋1）3＋（k＋2）3
5．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋<（n≥2，n∈N*）的过程中，由n＝k递推
到n＝k＋1时不等式左边（ ）
A．增加了一项
B．增加了两项、
C．增加了B中两项但减少了一项
D．以上各种情况均不对
二、填空题（每小题4分，共16分）
6．（2011·淮南调研）若f（n）＝12＋22＋32＋…＋（2n）2，则f（k＋1）与f（k）的递推关系式是_____．
7．观察不等式：
1>，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜测第n个不等式为________（n∈N*）．
8．（2011·东莞调研）已知整数对的序列如下：
（1,1），（1,2），（2,1），（1,3），（2,2），（3,1），
（1,4），（2,3），（3,2），（4,1），（1,5），（2,4），…，则第60个数对是________．
9．如下图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n（n∈N*）行，在这些数中非1的数字之和是
________________．
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
……
三、解答题（共3小题，共34分）
10．（本小题满分10分）试证：
当n∈N*时，f（n）＝32n＋2－8n－9能被64整除．
11．（本小题满分12分）已知数列{an}的各项都是正数，且满足：
a0＝1，an＋1＝an·（4－an）（n
∈N）．
证明：
an12．（本小题满分12分）（2011·开封调研）在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，
an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比列（n∈N*），求a2，a3，a4与b2，b3，b4的值，由
此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
一、选择题（每小题5分，共25分）
1．
解析：
A、B、C中，k＋1不一定表示奇数，只有D中k为奇数，k＋2为奇数．
答案：
D
2．
解析：
增加的项数为（2k＋1－1）－（2k－1）＝2k＋1－2k＝2k.
答案：
C
3．
解析：
在n＝k＋1时，没有应用n＝k时的假设，不是数学归纳法．
答案：
D
4．
解析：
假设当n＝k时，原式能被9整除，即k2＋（k＋1）3＋（k＋2）3能被9整除．
当n＝k＋1时，（k＋1）3＋（k＋2）3＋（k＋3）3为了能用上面的归纳假设，只需将（k＋3）3展开，让其出现k3即可．
答案：
A
5．
解析：
∵n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋
＋＋，
∴增加了两项、，少了一项.
答案：
C
二、填空题（每小题4分，共16分）
6．
解析：
∵f（k）＝12＋22＋…＋（2k）2，
∴f（k＋1）＝12＋22＋…＋（2k）2＋（2k＋1）2＋（2k＋2）2；
∴f（k＋1）＝f（k）＋（2k＋1）2＋（2k＋2）2.
答案：
f（k＋1）＝f（k）＋（2k＋1）2＋（2k＋2）2
7．
解析：
3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，可猜测：
1＋＋＋…＋>.
答案：
1＋＋＋…＋>
8．
解析：
本题规律：
2＝1＋1；3＝1＋2＝2＋1；
4＝1＋3＝2＋2＝3＋1；
5＝1＋4＝2＋3＝3＋2＝4＋1；
…；
一个整数n所拥有数对为（n－1）对．
设1＋2＋3＋…＋（n－1）＝60，
∴＝60，
∴n＝11时还多5对数，且这5对数和都为12，
12＝1＋11＝2＋10＝3＋9＝4＋8＝5＋7，
∴第60个数对为（5,7）．
答案：
（5,7）
9．
……
解析：
所有数字之和Sn＝20＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1，除掉1的和2n－1－（2n－1）＝2n
－2n.
答案：
2n－2n
三、解答题（共3小题，共34分）
10
证明：
证法一：
（1）当n＝1时，f
（1）＝64，命题显然成立．
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，f（k）＝32k＋2－8k－9能被64整除．
当n＝k＋1时，由于32（k＋1）＋2－8（k＋1）－9
＝9（32k＋2－8k－9）＋9·8k＋9·9－8（k＋1）－9＝9（32k＋2－8k－9）＋64（k＋1），
即f（k＋1）＝9f（k）＋64（k＋1），∴n＝k＋1时命题也成立．
根据
（1）、
（2）可知，对于任意n∈N*，命题都成立．
证法二：
（1）当n＝1时f
（1）＝64
命题显然成立．
（2）假设当n＝k（k∈N*，k≥1）时，f（k）＝32k＋2－8k－9能被64整除．
由归纳假设，设32k＋2－8k－9＝64m（m为大于1的自然数），
将32k＋2＝64m＋8k＋9代入到f（k＋1）中得
f（k＋1）＝9（64m＋8k＋9）－8（k＋1）－9＝64（9m＋k＋1），∴n＝k＋1时命题也成立．
根据
（1）
（2）知，对于任意n∈N*，命题都成立．
11．（本小题满分12分）已知数列{an}的各项都是正数，且满足：
a0＝1，an＋1＝an·（4－an）（n
∈N）．
证明：
an证明：
证法一：
用数学归纳法证明：
（1）当n＝0时，a0＝1，a1＝a0（4－a0）＝，所以a0（2）假设n＝k－1（k∈N*）时命题成立，即ak－1则当n＝k时，ak－ak＋1
＝ak－1（4－ak－1）－ak（4－ak）＝2（ak－1－ak）－（ak－1－ak）（ak－1＋ak）
＝（ak－1－ak）（4－ak－1－ak）．
而ak－1－ak<0,4－ak－1－ak>0，所以ak－ak＋1<0.
又ak＋1＝ak（4－ak）＝[4－（ak－2）2]<2.所以n＝k时命题成立．
由
（1）
（2）可知，对一切n∈N时有an证法二：
用数学归纳法证明：
（1）当n＝0时，a0＝1，a1＝a0（4－a0）＝，所以0（2）假设n＝k－1（k∈N*）时有ak－1所以由假设有：
f（ak－1）（2），
即ak－1（4－ak－1）也即当n＝k时，ak12．（本小题满分12分）（2011·开封调研）在数列{an}，{bn}中，a1＝2，b1＝4，且an，bn，
an＋1成等差数列，bn，an＋1，bn＋1成等比列（n∈N*），求a2，a3，a4与b2，b3，b4的值，由
此猜测{an}，{bn}的通项公式，并证明你的结论．
解：
由条件得2bn＝an＋an＋1，a＝bnbn＋1.
又a1＝2，b1＝4，由此可得a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，
a4＝20，b4＝25，猜测an＝n（n＋1），bn＝（n＋1）2.
用数学归纳法证明：
①当n＝1时，a1＝2，b1＝4，结论成立．
②假设当n＝k（k∈N*）时结论成立，
即ak＝k（k＋1），bk＝（k＋1）2，那么当n＝k＋1时，
ak＋1＝2bk－ak＝2（k＋1）2－k（k＋1）
＝（k＋1）[（k＋1）＋1]，
bk＋1＝＝（k＋2）2＝[（k＋1）＋1]2，
∴当n＝k＋1时，结论也成立．
由①②知，an＝n（n＋1），bn＝（n＋1）2对一切正整数都成立．
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