数学必修21.3.1《柱体、椎体、台体的表面积与体积》导学导练.doc
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高中数学必修2
高中数学必修二1.2.3《体、椎体、台体的表面积及体积》导学导练
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【知识要点】
1．多面体的面积和体积公式
名称
侧面积（S侧）
全面积（S全）
体积（V）
棱
柱
棱柱
直截面周长×l
S侧+2S底
S底·h=S直截面·h
直棱柱
ch
S底·h
棱
锥
棱锥
各侧面积之和
S侧+S底
S底·h
正棱锥
ch′
棱
台
棱台
各侧面面积之和
S侧+S上底+S下底
h（S上底+S下底+）
正棱台
（c+c′）h′
表中S表示面积，c′、c分别表示上、下底面周长，h表斜高，h′表示斜高，l表示侧棱长。
2．旋转体的面积和体积公式
名称
圆柱
圆锥
圆台
球
S侧
2πrl
πrl
π（r1+r2）l
S全
2πr（l+r）
πr（l+r）
π（r1+r2）l+
π（r21+r22）
4πR2
V
πr2h（/πr2l）
πr2h
πh（r21+r1r2+r22）
πR3
表中l、h分别表示母线、高，r表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，r1、r2分别表示圆台上、下底面半径，R表示半径。
【范例析考点】
考点一．棱柱、棱锥、棱台的表/侧面积
例1：
一个长方体全面积是20cm2，所有棱长的和是24cm，求长方体的对角线长.
【针对练习】
1、个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）的底面是菱形，对角线长分别是6cm和8cm，高是5cm，则这个直棱柱的全面积是
2、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的倍，母线长为，圆台的侧面积为，则圆台较小底面的半径为（）
A．7Ｂ．6Ｃ．5Ｄ．3
3、棱长为，各面均为等边三角形的四面体（正四面体）的表面积为——————————体积为—————————
考点二．圆柱、圆锥、圆台、球的表/侧面积
例2：
等边圆柱（轴截面是正方形）、球、正方体的体积相等，它们的表面积的大小关系是（ ）
A B
CD
【针对练习】
1、已知圆锥的母线长为8，底面圆周长为，则它的体积是（）
AB9CD
2、若圆台的上下底面半径分别是1和3，它的侧面积是两底面面积的2倍，则圆台的母线长是（）
A2B2.5C5D10
3、若圆锥的侧面展开图是圆心角为1200，半径为的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是（）
A3：
2B2：
1C4：
3D5：
3
4、一个棱长为4的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2，深为1的圆柱形的孔，则打孔后几何体的表面积为——————————————
考点三．柱体、椎体、台体的体积
例3：
已知正六棱台的上、下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为（）
A．32B．28 C．24D．20
【针对练习】
1、三棱锥P—ABC的侧棱PA、PB、PC两两垂直，侧面面积分别是6，4，3，则三棱锥的体积是（）
A.4B.6C.8D.10
2、半径为的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（）
A．B．C．D．
3、已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_______________。
4、直角梯形的一个底角为450，下底长为上底长的1.5倍，这个梯形绕下底所在的直线旋转一周所成的旋转体的表面积是求这个旋转体的体积。
考点四．利用三视图求棱柱、棱锥、棱台的表/侧面积及体积
例4：
一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（）
ABCD
【针对练习】
1、下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）
A.9π B.10π
C.11πD．12π
2
2
2
2、一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为（）.
A.
B.
C.
D.
俯视图
正/侧视图
考点5．利用柱体、椎体、台体的切、接求解表/侧面积及体积
例5：
半径为R的半球，一正方体的四个顶点在半球的底面上，另四个顶点在半球的球面上，则该正方体的表面积是
【针对练习】
1、有两个球，第一个球内切于正方体，第二个球过这个正方体的各个顶点．求这两个球的半径之比．
2、一个体积为的正方体的顶点都在球面上，则球的表面积是（）
A．B．C．D．
3、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为，则球的表面积为（）
A. B. C. D.
4、若一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的全面积是（）
A．3π B．3π C．6π D．9π
5、一个四面体的所有棱长为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A B C D
6、已知长方体一个顶点上三条棱分别是3、4、5，且它的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（）
ABCD
7、半球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体的表面积的比为（ ）
A B C D 以上答案都不对
8、半径为R的球放置于倒置的等边圆锥（过轴的截面为正三角形）容器中，再将水注入容器内到水与球面相切为止，则取出球后水面的高度是——————————————
考点六．简单组合体的表面积、体积问题
例6：
如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋化了，会溢出杯子吗？
（半球半径等于圆锥底面半径）
【思维总结】
1．正四面体的性质设正四面体的棱长为a，则这个正四面体的
（1）全面积：
S全=a2；
（2）体积：
V=a3；
（3）对棱中点连线段的长：
d=a；（4）内切球半径：
r=a；
（5）外接球半径：
R=a；
（6）正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值（等于正四面体的高）。
2．直角四面体的性质有一个三面角的各个面角都是直角的四面体叫做直角四面体.直角四面体有下列性质：
如图，在直角四面体AOCB中，∠AOB=∠BOC=∠COA=90°，OA=a,OB=b,OC=c。
则：
①不含直角的底面ABC是锐角三角形；
②直角顶点O在底面上的射影H是△ABC的垂心；
③体积：
V=abc；④底面△ABC=；
⑤S2△ABC=S△BHC·S△ABC；⑥S2△BOC=S2△AOB+S2△AOC=S2△ABC
⑦=++;⑧外切球半径：
R=；
⑨内切球半径：
r=
3．圆锥轴截面两腰的夹角叫圆锥的顶角.
①如图，圆锥的顶角为β，母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，底面半径为r，则
sinα=cos=，
α+=90°cosα=sin=.
②圆台如图，圆台母线与下底面所成角为α，母线为l，高为h，上、下底面半径分别为r′、r，则h=lsinα，r-r′=lcosα。
③球的截面
用一个平面去截一个球，截面是圆面.
（1）过球心的截面截得的圆叫做球的大圆；不经过球心的截面截得的圆叫做球的小圆；
（2）球心与截面圆圆心的连线垂直于截面；
（3）球心和截面距离d,球半径R，截面半径r有关系：
r=.
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