数学归纳法证明例题.doc

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数学归纳法例题讲解

例1．用数学归纳法证明：

．

请读者分析下面的证法：

证明：

①n=1时，左边，右边，左边=右边，等式成立．

②假设n=k时，等式成立，即：

．

那么当n=k+1时，有：

这就是说，当n=k+1时，等式亦成立．

由①、②可知，对一切自然数n等式成立．

评述：

上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n=k这一步，当n=k+1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：

当n=k+1时．

这就说明，当n=k+1时，等式亦成立，

例2．是否存在一个等差数列{an}，使得对任何自然数n，等式：

a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2）

都成立，并证明你的结论．

分析：

采用由特殊到一般的思维方法，先令n=1，2，3时找出来{an}，然后再证明一般性．

解：

将n=1，2，3分别代入等式得方程组．

，

解得a1=6，a2=9，a3=12，则d=3．

故存在一个等差数列an=3n+3，当n=1，2，3时，已知等式成立．

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列an=3n+3，对大于3的自然数，等式

a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2）都成立．

因为起始值已证，可证第二步骤．

假设n=k时，等式成立，即

a1+2a2+3a3+…+kak=k（k+1）（k+2）

那么当n=k+1时，

a1+2a2+3a3+…+kak+（k+1）ak+1

=k（k+1）（k+2）+（k+1）[3（k+1）+3]

=（k+1）（k2+2k+3k+6）

=（k+1）（k+2）（k+3）

=（k+1）[（k+1）+1][（k+1）+2]

这就是说，当n=k+1时，也存在一个等差数列an=3n+3使a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2）成立．

综合上述，可知存在一个等差数列an=3n+3，对任何自然数n，等式a1+2a2+3a3+…+nan=n（n+1）（n+2）都成立．

例3．证明不等式（n∈N）．

证明：

①当n=1时，左边=1，右边=2．

左边<右边，不等式成立．

②假设n=k时，不等式成立，即．

那么当n=k+1时，

这就是说，当n=k+1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n都成立．

说明：

这里要注意，当n=k+1时，要证的目标是

，当代入归纳假设后，就是要证明：

．

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

例4．已知数列{an}满足a1=0，a2=1，当n∈N时，an+2=an+1+an．

求证：

数列{an}的第4m+1项（m∈N）能被3整除．

分析：

本题由an+1=an+1+an求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．

①当m=1时，a4m+1=a5=a4+a3=（a3+a2）+（a2+a1）=a2+a1+a2+a2+a1=3，能被3整除．

②当m=k时，a4k+1能被3整除，那么当n=k+1时，

a4（k+1）+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3

=a4k+3+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=a4k+2+a4k+1+a4k+2+a4k+2+a4k+1

=3a4k+2+2a4k+1

由假设a4k+1能被3整除，又3a4k+2能被3整除，故3a4k+2+2a4k+1能被3整除．

因此，当m=k+1时，a4（k+1）+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m∈N，数列{an}中的第4m+1项都能被3整除．

例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

分析：

设这些半圆最多互相分成f（n）段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．

当n=2时，由图

（1）．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f

（2）=4=22．

当n=3时，由图

（2）．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f（3）=9=32．

由n=4时，由图（3）．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f（4）=16=42．

由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f（n）=n2．

用数学归纳法证明如下：

①当n=2时，上面已证．

②设n=k时，f（k）=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．

∴f（k+1）=k2+k+（k+1）

=k2+2k+1=（k+1）2

∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成（k+1）2段圆弧．

由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．

说明：

这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？

可以从f

（2）=4，f（3）=f

（2）+2+3，f（4）=f（3）+3+4中发现规律：

f（k+1）=f（k）+k+（k+1）．

N的4K+1次方-N为何是10的倍数？

先证明n^5-n一定是10的倍数

再用数学归纳法证明n^（4k+1）-n也是10的倍数

n^5-n=n（n-1）（n+1）（n^2+1）

显然n,n-1中必有一个数是偶数所以n^5-1是2的倍数

下面分情况讨论

n=5t5t+15t+25t+35t+4都能得到n^5-n是5的倍数

而（2,5）互质所以n^5-n是10的倍数

所以当k=1时成立

假设当k=r时成立即n^（4r+1）-n=10s

则当k=r+1时n^（4r+4+1）-n=（n^4r+1-n）*n^4+（n^5-n）

=n^4*10s+n^5-n

由于n^5-n是10的倍数

所以当k=r+1时也成立

证明:

2的n次方大于2n+1,n是大于3的整数

n=3时，2^3=8>2*3+1,2的n次方大于2n+1成立

设n≤k,k>3时成立

则：

2^（k+1）=2*2^k>2*（2k+1）=4k+2>2k+8>2（k+1）+1

n=k+1时成立

所以，

2的n次方大于2n+1,n是大于2的整数

证明：

当且仅当指数n不能被4整除时，1n＋2n＋3n＋4n能被5整除

证明设A=1^n＋2^n＋3^n＋4^n，当n=4k（k为整数）时，1^n、3^n的个位数均为1，2^n、4^n的个位均为6，1+1+6+6=14，A的个位为4，显然A不能被5整除

当n≠4k时，⑴若n=4k+1，易知A的个位=（1+2+3+4）的个位=0，∴A能被5整除

⑵当n=4k+2时，A的个位=（1+4+9+16）的个位=0，∴A能被5整除

⑶当n=4k+3时，A的个位=（1+8+27+64）的个位=0，∴A能被5整除

综上所述，

当且仅当指数n不能被4整除时，

A能被5整除，

也即当且仅当指数n不能被4整除时，

1^n＋2^n＋3^n＋4^n能被5整除

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