数列通项公式方法大全很经典.doc
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1，数列通项公式的十种求法：
（1）公式法（构造公式法）
例1已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：
两边除以，得，则，故数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得，所以数列的通项公式为。
评注：
本题解题的关键是把递推关系式转化为，说明数列是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出，进而求出数列的通项公式。
（2）累加法
例2已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
由得则
所以数列的通项公式为。
评注：
本题解题的关键是把递推关系式转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
变式：
已知数列满足，求数列的通项公式。
（3）累乘法
例3已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
因为，所以，则，故
所以数列的通项公式为
评注：
本题解题的关键是把递推关系转化为，进而求出，即得数列的通项公式。
变式：
已知数列满足，求的通项公式。
（4）待定系数法
例4已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
设 ④
将代入④式，得，等式两边消去，得，两边除以，得代入④式得 ⑤
由及⑤式得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
评注：
本题解题的关键是把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
变式：
①已知数列满足，求数列的通项公式。
②已知数列满足，求数列的通项公式。
（5）对数变换法
例5已知数列满足，，求数列的通项公式。
解：
因为，所以。
在式两边取常用对数得 ⑩
设
将⑩式代入式，得，两边消去并整理，得，则
，故
代入式，得
由及式，
得，
则，
所以数列是以为首项，以5为公比的等比数列，则，因此
则。
评注：
本题解题的关键是通过对数变换把递推关系式转化为，从而可知数列是等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
（6）数学归纳法
例6已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
由及，得
由此可猜测，往下用数学归纳法证明这个结论。
（1）当时，，所以等式成立。
（2）假设当时等式成立，即，则当时，
由此可知，当时等式也成立。
根据
（1），
（2）可知，等式对任何都成立。
评注：
本题解题的关键是通过首项和递推关系式先求出数列的前n项，进而猜出数列的通项公式，最后再用数学归纳法加以证明。
（7）换元法
例7已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
令，则
故，代入得
即
因为，故
则，即，
可化为，
所以是以为首项，以为公比的等比数列，因此，则，即，得
。
评注：
本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
（8）不动点法
例8已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
令，得，则是函数的两个不动点。
因为
。
所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故，则。
评注：
本题解题的关键是先求出函数的不动点，即方程的两个根，进而可推出，从而可知数列为等比数列，再求出数列的通项公式，最后求出数列的通项公式。
例9已知数列满足，求数列的通项公式。
解：
令，得，则是函数的不动点。
因为，所以
。
评注：
本题解题的关键是通过将的换元为，使得所给递推关系式转化形式，从而可知数列为等比数列，进而求出数列的通项公式，最后再求出数列的通项公式。
课后习题：
1．数列的一个通项公式是（）
A、B、C、D、
2．已知等差数列的通项公式为,则它的公差为（）
A、2B、3C、D、
3．在等比数列中,则（）
A、B、C、D、
4．若等比数列的前项和为，且，，则
5．已知数列通项公式，则该数列的最小的一个数是
6．在数列{an}中，且，则数列的前99项和等于．
7．已知是等差数列，其中，公差。
（1）求数列的通项公式；
（2）数列从哪一项开始小于0？
（3）求数列前项和的最大值，并求出对应的值．
8．已知数列的前项和为，
（1）求、、的值；
（2）求通项公式。
9．等差数列中，前三项分别为，前项和为，且。
（1）、求和的值；
（2）、求=;
数列
等差数列与等比数列的有关知识比较一览表
等差数列
等比数列
递
推
关
系
①（）
②（）
③（）
①（）
②（）
③（）
通
项
①（）
②（）
①（）
②（）
求
和
公
式
①（）
②（）
③（）
①求积公式（）
②（）
③（，）
主
要
性
质
①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则
.
②对任意c>0,c1,为等比数列.
③.
④若、分别为两等差数列，则
为等差数列.
⑤数列为等差数列.
⑥若为正项等差自然数列，则为等差数列.
⑦为等差数列.
⑧，n>2m，m、n.
⑨.
⑩若则.
①若p+q=s+r,p、q、s、rN*,则.
②对任意c>0,c1,若an恒大于0，则为等差数列.
③.
④若、为两等比数列，则为等比数列.
⑤若an恒大于0，则数列为等比数列.
⑥若为正项等差自然数列，则为等比数列.
⑦为等比数列.
⑧，n>2m，m、n，.
⑨.
⑩若
则.
重要性质
①若p、q，且,
则.
②若且,则p、q.
①
=.
②若|q|<1,则.
求数列{an}通项公式的方法
1．=+型
累加法：
=（－）+（－）+…+（－）+
=++…++
例1.已知数列{}满足=1，=+（n∈N+），求.
[解]=－+－+…+－+
=++…++1
==－1
∴=－1（n∈N+）
2．=p+q型（p、q为常数）
方法：
（1）+=，再根据等比数列的相关知识求.
（2）－=
再用累加法求.
（3）=+，先用累加法求再求.
例3.已知{}的首项=a（a为常数），=2+1（n∈N+，n≥2），求.
[解]设－λ=2（－λ），则λ=－1
∴+1=2（+1）
∴{}为公比为2的等比数列.
∴+1=（a+1）·
∴=（a+1）·－1
3．型
累乘法：
=·…·
例2.已知数列{}满足（n∈N+），=1，求.
[解]=·…·
=（n－1）·（n－2）…1·1=（n－1）！
∴=（n－1）！
（n∈N+）
4．=p+型（p为常数）
方法：
变形得=+，
则{}可用累加法求出，由此求.
例4.已知{}满足=2，=2+.求.
[解]=+1
∴{}为等差数列.
=
∴=n·
5．=p＋q型（p、q为常数）
特征根法：
（1）时，=·+·
（2）时，=（+·n）·
例5.数列{}中，=2，=3，且2=+（n∈N+，n≥2），求.
[解]=2－
∴∴
∴=（+·n）·=+·n
∴∴
∴
6．“已知，求”型
方法：
=－（注意是否符合）
例6.设为{}的前n项和，=（－1），求（n∈N+）
[解]∵=（－1）（n∈N+）
∴当n=1时，=（－1）
∴=3
当n≥2时，
=－
=（－1）－（－1）
∴=3∴=（n∈N+）
求数列{an}的前n项和的方法
（1）倒序相加法
（2）公式法
此种方法主要针对类似等差数列中
具有这样特点的数列．
此种方法是针对于有公式可套的数列，如等差、等比数列，关键是观察数列的特点，找出对应的公式．
例：
等差数列求和
①
把项的次序反过来，则：
②
①+②得：
公式：
①等差数列：
②等比数列：
；
③1+2+3+……+n=；
（3）错位相减法
（4）分组化归法
此种方法主要用于数列的求和，其中为等差数列，是公比为q的等比数列，只需用便可转化为等比数列的求和，但要注意讨论q=1和q≠1两种情况．
此方法主要用于无法整体求和的数列，可将其通项写成等比、等差等我们熟悉的数列分别进行求和，再综合求出所有项的和．
例：
试化简下列和式：
解：
①若x=1，则Sn=1+2+3+…+n=
②若x≠1,则
两式相减得：
+…+
∴
例：
求数列1，，，……，
+……+的和.
解：
∵
∴
（5）奇偶求和法
（6）裂项相消法
此种方法是针对于奇、偶数项，要考虑符号的数列，要求Sn，就必须分奇偶来讨论，最后进行综合．
此方法主要针对
这样的求和，其中{an}是等差数列．
例：
求和
解：
当n=2k（kN+）时,
当，
综合得：
例：
{an}为首项为a1,公差为d的等差数列，求
解：
∵
∴
（7）分类讨论
（8）归纳—猜想—证明
此方法是针对数列{}的其中几项符号与另外的项不同，而求各项绝对值的和的问题，主要是要分段求.
此种方法是针对无法求出通项或无法根据通项求出各项之和的数列，先用不完全归纳法猜出的表达式，然后用数学归纳法证明之.
例：
已知等比数列{}中，=64，q=，设=log2，求数列{||}的前n项和.
解：
==
∴=log2=
（1）当≤7时，≥0
此时，=－+
（2）当＞7时，<0
此时，=－+42（≥8）
－+（≤7）
∴=
－+42（≥8）
例：
求和=+++…+
解：
，，，
，，…
=（待定系数法）
证明：
（1）当=1时，=1=
∴=1时成立.
（2）假设当=k时，=
则=k+1时，
=+
=
=k+1时，成立.
由
（1）、
（2）知，对一切n∈N*，
=.
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