数列求和裂项相消专题.docx

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数列求和—裂项相消专题

裂项相消的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，以达到求和的目的.常见的裂项相消形式有：

1.

┈┈

（分母可分解为的系数相同的两个因式）

2.

3.

4.

5.

┈┈

1.在数列中，，且，求数列的前n项的和.

2.已知数列是首相为1，公差为1的等差数列，，为的前n项和，证明：

.

3.等比数列各项均为正数，且，

（1）求的通项公式；

（2）设，求的前n项和.

4.设数列满足且，

（1）求的通项公式；

（2）设，记，证明：

.

5.（安徽江南十校2015联考）已知各项为正数的数列满足:

且,

（1）证明：

数列是等差数列;

（2）设，的前n项和为，求证：

.

6.已知等差数列的前项和为，公差且成等比数列，

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前项和.

7.等差数列中，，

（1）求数列的通项公式；

（2）设，求.

8.（2010山东）已知等差数列满足：

的前n项和为，

（1）求及；

（2）令，求数列的前n项和.

9.（2013全国1）已知等差数列的前n项和为，满足，

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

10.（2013江西）正项数列满足：

，

（1）求的通项公式；

（2）令，求数列的前n项和.

11.（2017全国3）设数列满足，

（1）求的通项公式；

（2）求数列的前n项和.

12.（2015安徽）已知数列是递增的等比数列，且，

（1）求的通项公式；

（2）设为数列的前n项和，，求数列的前n项和.

13.（2014贵州适应性训练）已知数列是等差数列，成等比数列，

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

14.（2013大连育明高中模拟）已知数列是各项均不为0的等差数列，公差为，为其前n项和，且满足，数列满足，为数列的前n项和，

（1）求和；

（2）是否存在实数，使对任意的，不等式恒成立？

若存在，请求出实数的取值范围；若不存在，说明理由.

15.为数列的前n项和，已知，

（1）求的通项公式；

（2）设，求数列的前n项和.

16.已知等比数列的公比，和的等比中项为，和的等差中项为6，数列满足，

（1）求数列和的通项公式；

（2）设是数列的前项和，求使的对所有恒成立的最小整数的值.