推理与证明总结课.docx

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推理与证明

考纲要求：

1．合情推理与演绎推理

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用；

（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

2．直接证明与间接证明

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点；

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

3．数学归纳法：

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

推理与证明

推理

证明

合情推理

演绎推理

归纳

类比

综合法

分析法

反证法

直接证明

间接证明

数学归纳法

知识网络：

一、推理

●1.归纳推理

1）归纳推理的定义：

从个别事实中推演出一般性的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。

2）归纳推理的思维过程大致如图：

实验、观察

概括、推广

猜测一般性结论

3）归纳推理的特点：

①归纳推理的前提是几个已知的特殊现象，归纳所得的结论是尚属未知的一般现象。

②由归纳推理得到的结论具有猜测的性质，结论是否真实，还需经过逻辑证明和实验检验，因此，它不能作为数学证明的工具。

③归纳推理是一种具有创造性的推理，通过归纳推理的猜想，可以作为进一步研究的起点，帮助人们发现问题和提出问题。

●2.类比推理

1）根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。

2）类比推理的思维过程是：

观察、比较

联想、类推

推测新的结论

●3.演绎推理

1）演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。

2）主要形式是三段论式推理。

3）三段论式推理常用的格式为：

M——P（M是P） ①①是大前提，它提供了一个一般性的原理；

S——M（S是M） ②②是小前提，它指出了一个特殊对象；

S——P（S是P）③③是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。

“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

⑴大前提---------已知的一般结论；⑵小前提---------所研究的特殊情况；⑶结论---------根据一般原理，对特殊情况得出的判断。

讨论：

演绎推理与合情推理有什么区别？

合情推理；演绎推理：

由一般到特殊.

二、证明

●1.直接证明：

是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接推证结论的真实性。

直接证明包括综合法和分析法。

综合法就是“由因导果”，从已知条件出发，不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。

分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者一定成立的式子，可称为“执果索因”。

要注意叙述的形式：

要证A，只要证B，B应是A成立的充分条件.分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。

●2.间接证明：

即反证法：

是指从结论的否定出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。

反证法的一般步骤是：

反设——推理——矛盾——原命题成立。

（所谓矛盾是指：

与数学公理、定理、公式、定义或已证明了的结论矛盾；与公认的简单事实矛盾；或与已知条件矛盾）。

常见的“结论词”与“反议词”如下表：

原结论词

否定

原结论词

否定

至少有一个

一个也没有

对所有的x都成立

存在某个x不成立

至多有一个

至少有两个

对任意x不成立

存在某个x成立

至少有n个

至多有n－1个

p或q

¬p且¬q

至多有n个

至少有n＋1个

p且q

¬p或¬q

典例精讲：

1．观察下列等式：

……，根据上述规律，第五个等式为____________.

2．观察，，，由归纳推理可得：

若定义在上的函数满足，记为的导函数，则=（）

（A）（B）（C）（D）

3.下列表述正确的是（）.

①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理.

A．①②③；B．②③④；C．②④⑤；D．①③⑤.

4．已知是的充分不必要条件，则是的（）

（Ａ）充分不必要条件（Ｂ）必要不充分条件

（Ｃ）充要条件（Ｄ）既不充分也不必要条件

5.有一段演绎推理是这样的：

“直线平行于平面,则平行于平面内所有直线；已知直线平面，直线平面，直线∥平面，则直线∥直线”的结论显然是错误的，这是因为（）

A.大前提错误B.小前提错误C.推理形式错误D.非以上错误

6.用反证法证明命题：

“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（）。

（A）假设三内角都不大于60度；（B）假设三内角都大于60度；

（C）假设三内角至多有一个大于60度；（D）假设三内角至多有两个大于60度。

7．观察下列等式：

①cos2a=2-1;

②cos4a=8-8+1;

③cos6a=32-48+18-1;

④cos8a=128-256+160-32+1;

⑤cos10a=m-1280+1120+n+p-1.

可以推测，m–n+p=.

8．利用数学归纳法证明“1＋a＋a2＋…＋an＋1=，（a≠1，n∈N）”时，在验证n=1成立时，左边应该是（）

（A）1（B）1＋a（C）1＋a＋a2（D）1＋a＋a2＋a3

９．某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当时命题也成立.现已知当时该命题不成立，那么可推得 （）

A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立

C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立

10.用数学归纳法证明“”（）时，从“”时，左边应增添的式子是 （）

A． B． C． D．

11.已知n为正偶数，用数学归纳法证明时，若已假设为偶数）时命题为真，则还需要用归纳假设再证 （）

A．时等式成立 B．时等式成立

C．时等式成立 D．时等式成立

12.求证：

+>2+.

13.设a、b、c都是正数，求证:

,至少有一个不小于2.

14.已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1

（1）写出a1,a2,a3,并推测an的表达式；

（2）用数学归纳法证明所得的结论.