排列组合问题解法总结.doc

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二十种排列组合问题的解法

排列组合问题联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，因此解决排列组合问题，首先要认真审题，弄清楚是排列问题、组合问题还是排列与组合综合问题；其次要抓住问题的本质特征，采用合理恰当的方法来处理．

教学目标

1.进一步理解和应用分步计数原理和分类计数原理．

2.掌握解决排列组合问题的常用策略;能运用解题策略解决简单的综合应用题．提高学生解决问题分析问题的能力

3.学会应用数学思想和方法解决排列组合问题.

复习巩固

1.分类计数原理（加法原理）

完成一件事，有类办法，在第1类办法中有种不同的方法，在第2类办法中有种不同的方法，…，在第类办法中有种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

2.分步计数原理（乘法原理）

完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，…，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有：

种不同的方法．

3.分类计数原理分步计数原理区别

分类计数原理方法相互独立，任何一种方法都可以独立地完成这件事．

分步计数原理各步相互依存，每步中的方法完成事件的一个阶段，不能完成整个事件．

解决排列组合综合性问题的一般过程如下:

1.认真审题弄清要做什么事

2.怎样做才能完成所要做的事,即采取分步还是分类,或是分步与分类同时进行,确定分多少步及多少类．

3.确定每一步或每一类是排列问题（有序）还是组合（无序）问题,元素总数是多少及取出多少个元素.

4.解决排列组合综合性问题，往往类与步交叉，因此必须掌握一些常用的解题策略

一.特殊元素和特殊位置优先策略

例1.由0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.

解:

由于末位和首位有特殊要求,应该优先安排,以免不合要求的元素占了这两个位置.

先排末位，从1,3,5三个数中任选一个共有排法；

然后排首位，从２，４和剩余的两个奇数中任选一个共有种排法；

最后排中间三个数，从剩余四个数中任选３个的排列数共有种排法；

∴由分步计数原理得

练习题:

7种不同的花种在排成一列的花盆里,若两种葵花不种在中间，也不种在两端的花盆里，问有多少不同的

种法？

解：

先种两种不同的葵花在不受限限制的四个花盒中共有不同种法，再其它葵花有不同种法，所以

共有不同种法种不同的种法．

二.相邻元素捆绑策略

例2.7人站成一排,其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.

解：

可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素，同时丙丁也看成一个复合元素，再与其它元素进行排列，同时对相邻元素内部进行自排．由分步计数原理可得共有种不同的排法．

练习题:

某人射击8枪，命中4枪，4枪命中恰好有3枪连在一起的情形的不同种数为20

解：

命中的三枪捆绑成一枪，与命中的另一枪插入未命中的四枪的空位，共有种不的情形．

三.不相邻问题插空策略

例3.一晚会的节目有4个舞蹈,2个相声,3个独唱,舞蹈节目不能连续出场,则节目的出场顺序有多少种？

解:

分两步进行第一步排2个相声和3个独唱共有种，第二步将4舞蹈插入第一步排好的6个元素中间包含首尾两个空位共有种不同的方法,由分步计数原理,节目的不同顺序共有

练习题：

某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个新节目插入原

节目单中，且两个新节目不相邻，那么不同插法的种数为30　

四.定序问题倍缩空位插入策略

例4.7人排队,其中甲乙丙3人顺序一定共有多少不同的排法

解:

（倍缩法）对于某几个元素顺序一定的排列问题,可先把这几个元素与其他元素一起进行排列,然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数,则共有不同排法种数是：

（空位法）设想有7把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有种方法，其余的三个位置甲乙丙共有1种坐法，则共有种方法．（七个空位坐了四人，剩下３个空位按一定顺序坐下甲，乙，丙）

思考:

可以先让甲乙丙就坐吗?

（插入法）先排甲乙丙三个人,共有1种排法,再把其余4四人依次插入共有方法．（先选三个座位坐下甲，乙，丙共有种选法，余下四个空位排其它四人共有种排法，所以共有种方法．）

练习题:

10人身高各不相等,排成前后排，每排5人,要求从左至右身高逐渐增加，共有多少排法？

五.重排问题求幂策略

例5.把6名实习生分配到7个车间实习,共有多少种不同的分法

解:

完成此事共分六步:

把第一名实习生分配到车间有7种分法.把第二名实习生分配到车间也有7种分依此类推,由分步计数原理共有种不同的排法

练习题：

1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为42

2.某8层大楼一楼电梯上来8名乘客人,他们到各自的一层下电梯,下电梯的方法

六.环排问题直排策略

如果在圆周上个不同的位置编上不同的号码，那么从个不同的元素的中选取个不同的元素排在圆周上不同的位置，这种排列和直线排列是相同的；如果从个不同的元素的中选取个不同的元素排列在圆周上，位置没有编号，元素间的相对位置没有改变，不计顺逆方向，这种排列和直线排列是不同的，这就是环形排列的问题．一个个元素的环形排列，相当于一个有个顶点的多边形，沿相邻两个点的弧线剪断，再拉直就是形成一个直线排列，即一个个元素的环形排列对应着个直线排列，设从个元素中取出个元素组成的环形排列数为个，则对应的直线排列数为个，又因为从个元素中取出个元素的排成一排的排列数为个，所以，所以．

即从个元素中取出个元素组成的环形排列数为．

个元素的环形排列数为

例6.8人围桌而坐,共有多少种坐法?

解：

围桌而坐与坐成一排的不同点在于，坐成圆形没有首尾之分，所以固定一人并从此位置把圆形展成直线其余7人共有种排法，即种

练习题：

6颗颜色不同的钻石，可穿成几种钻石圈120　

七.多排问题直排策略

例7.8人排成前后两排,每排4人,其中甲乙在前排,丙在后排,共有多少排法

解:

8人排前后两排,相当于8人坐8把椅子,可以把椅子排成一排.先排前４个位置，２个特殊元素有种排法,再排后4个位置上的特殊元素丙有种,其余的5人在5个位置上任意排列有种,则共有种排法．（排好后，按前４个为前排，后４人为后排分成两排即可）

练习题：

有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是346

解：

由于甲乙二人不能相邻，所以前排第1,4,8,11四个位置和后排第１，１２位置是排甲乙中的一个时，

与它相邻的位置只能排除一个，而其它位置要排除３个，所以共有排列

八.排列组合混合问题先选后排策略

例8.有5个不同的小球,装入4个不同的盒内,每盒至少装一个球,共有多少不同的装法.

解:

第一步从5个球中选出2个组成复合元共有种方法.再把4个元素（包含一个复合元素）装入4个不同的盒内有种方法，根据分步计数原理装球的方法共有

练习题：

一个班有6名战士,其中正副班长各1人现从中选4人完成四种不同的任务,每人完成一种任务,且正副班长有且只有1人参加,则不同的选法有192种

九.小集团问题先整体后局部策略

例9.用1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数其中恰有两个偶数在1,５在两个奇数之间,这样的五位数有多少个？

（注：

两个偶数２，４在两个奇数１，５之间，这是题意，说这个结构不能被打破，故３只能排这个结构的外围，也就是说要把这个结构看成一个整体与３进行排列）．

解：

把１,５,２,４当作一个小集团与３排队共有种排法，再排小集团内部共有种排法，由分步计数原理共有种排法.

练习题：

１.计划展出10幅不同的画,其中1幅水彩画,４幅油画,５幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的必须连在一起，并且水彩画不在两端，那么共有陈列方式的种数为

2.5男生和５女生站成一排照像,男生相邻,女生也相邻的排法有种

十.元素相同问题隔板策略

例10.有10个运动员名额，分给7个班，每班至少一个,有多少种分配方案？

解：

因为10个名额没有差别，把它们排成一排．相邻名额之间形成９个空隙．在９个空档中选６个位置插个隔板，可把名额分成７份，对应地分给７个班级，每一种插板方法对应一种分法共有种分法．

注：

这和投信问题是不同的，投信问题的关键是信不同，邮筒也不同，而这里的问题是邮筒不同，但信是相同的．即班级不同，但名额都是一样的．

练习题：

10个相同的球装5个盒中,每盒至少一有多少装法？

2.求这个方程组的自然数解的组数

十一.正难则反总体淘汰策略

例11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数，使其和为不小于10的偶数,不同的

取法有多少种？

解：

这问题中如果直接求不小于10的偶数很困难,可用总体淘汰法．这十个数字中有5个偶数5个奇数,所取的三个数含有3个偶数的取法有,只含有1个偶数的取法有,和为偶数的取法共有．再淘汰和小于10的偶数共9种，符合条件的取法共有

练习题：

我们班里有43位同学,从中任抽5人,正、副班长、团支部书记至少有一人在内的

抽法有多少种?

十二.平均分组问题除法策略

例12.6本不同的书平均分成3堆,每堆2本共有多少分法？

解:

分三步取书得种方法,但这里出现重复计数的现象,不妨记6本书为ABCDEF，若第一步取AB,第二步取CD,第三步取EF该分法记为（AB,CD,EF）,则中还有（AB,EF,CD）,（CD,AB,EF）,（CD,EF,AB）（EF,CD,AB）,（EF,AB,CD）共有种取法,而这些分法仅是（AB,CD,EF）一种分法,故共有种分法．

平均分成的组,不管它们的顺序如何,都是一种情况,所以分组后要一定要除以（为均分的组数）避免重复计数。

练习题：

1将13个球队分成3组,一组5个队,其它两组4个队,有多少分法？

（）

2.10名学生分成3组,其中一组4人,另两组3人但正副班长不能分在同一组,有多少种不同的

分组方法（1540）

3.某校高二年级共有六个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安

排2名，则不同的安排方案种数为______（）

十三.合理分类与分步策略

例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法

解：

10演员中有5人只会唱歌，2人只会跳舞3人为全能演员．选上唱歌人员为标准进行研究

只会唱的5人中没有人选上唱歌人员共有种,只会唱的5人中只有1人选上唱歌人员种,只会唱的5人中只有2人选上唱歌人员有种，由分类计数原理共有

种．

解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做到标准明确。

分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。

本题还有如下分类标准：

以3个全能演员是否选上唱歌人员为标准；以3个全能演员是否选上跳舞人员为标准；

以只会跳舞的2人是否选上跳舞人员为标准；都可经得到正确结果

练习题：

1.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有34

2.3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人,2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船,这3人共有多少乘船方法.（27）

十四.构造模型策略

例14.马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3盏,但不能关掉相邻的2盏或

3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？

解：

把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯有种