抛物线常用性质总结.doc

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结论一：

若AB是抛物线的焦点弦（过焦点的弦），且，，则：

，。

结论二：

已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：

。

结论三：

（1）若AB是抛物线的焦点弦，且直线AB的倾斜角为α，则（α≠0）。

（2）焦点弦中通径（过焦点且垂直于抛物线对称轴的弦）最短。

结论四：

两个相切：

（1）以抛物线焦点弦为直径的圆与准线相切。

（2）过抛物线焦点弦的两端点向准线作垂线，以两垂足为直径端点的圆与焦点弦相切。

证明结论二：

例：

已知直线AB是过抛物线焦点F，求证：

为定值。

证明：

设，，由抛物线的定义知：

，，又+=，所以+=-p，且由结论一知：

。

则：

=（常数

证明：

结论四：

已知AB是抛物线的过焦点F的弦，求证：

（1）以AB为直径的圆与抛物线的准线相切。

B

A

M

N

Q

P

y

x

O

F

（2）分别过A、B做准线的垂线，垂足为M、N，求证：

以MN为直径的圆与直线AB相切。

证明：

（1）设AB的中点为Q,过A、Q、B向准线l作垂线，

垂足分别为M、P、N，连结AP、BP。

由抛物线定义：

，，

∴，

∴以AB为直径为圆与准线l相切

O

A

M

N

P

y

x

F

（2）作图如

（1），取MN中点P，连结PF、MF、NF，

∵，AM∥OF，∴∠AMF=∠AFM，∠AMF=∠MFO，

∴∠AFM=∠MFO。

同理，∠BFN=∠NFO，

∴∠MFN=（∠AFM+∠MFO+∠BFN+∠NFO）=90°，

B

∴，

∴∠PFM=∠FMP

∴∠AFP=∠AFM+∠PFM=∠FMA+∠FMP=∠PMA=90°，∴FP⊥AB