必修二直线与方程复习讲义.doc

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第八章平面解析几何

第一节直线与方程

【考纲知识梳理】

一、直线的倾斜角与斜率

1、直线的倾斜角与斜率

（1）直线的倾斜角

①关于倾斜角的概念要抓住三点：

ⅰ.与x轴相交;

ⅱ.x轴正向;

ⅲ.直线向上方向.

②直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为.

③倾斜角的范围.

（2）直线的斜率

①直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为的直线斜率不存在。

②经过两点的直线的斜率公式是

③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。

2、两条直线平行与垂直的判定

（1）两条直线平行

对于两条不重合的直线，其斜率分别为，则有。

特别地，当直线的斜率都不存在时，的关系为平行。

（2）两条直线垂直

如果两条直线斜率存在，设为，则

注：

两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。

如果中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，互相垂直。

二、直线的方程

1、直线方程的几种形式

名称

方程的形式

已知条件

局限性

点斜式

为直线上一定点，k为斜率

不包括垂直于x轴的直线

斜截式

k为斜率，b是直线在y轴上的截距

不包括垂直于x轴的直线

两点式

且

是直线上两定点

不包括垂直于x轴和y轴的直线

截距式

a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距

不包括垂直于x轴和y轴或过原点的直线

一般式

A，B，C为系数

无限制，可表示任何位置的直线

注：

过两点P1（x1,y1），P2（x2,y2）的直线是否一定可用两点式方程表示？

（不一定。

（1）若x1=x2且y1≠y2，直线垂直于x轴，方程为；

（2）若，直线垂直于y轴，方程为；（3）若，直线方程可用两点式表示）

2、线段的中点坐标公式

若点的坐标分别为，且线段的中点M的坐标为（x,y），则此公式为线段的中点坐标公式。

三、直线的交点坐标与距离公式

1.两条直线的交点

设两条直线的方程是，两条直线的交点坐标就是方程组的解，若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。

2.几种距离

（1）两点间的距离

平面上的两点间的距离公式

特别地，原点O（0，0）与任一点P（x,y）的距离

（2）点到直线的距离

点到直线的距离；

（3）两条平行线间的距离

两条平行线间的距离

注：

（1）求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式；

（2）求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能套用公式计算。

四、两条直线的位置关系

【要点名师透析】

一、直线的倾斜角与斜率

（一）直线的倾斜角

※相关链接※

2．已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数；若k为负数，则的范围为的子集，且k=tan为增函数。

若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据斜率的增减性求倾斜角范围。

※例题解析※

〖例〗已知直线的斜率k=-cos（∈R）.求直线的倾斜角的取值范围。

（二）直线的斜率及应用

※相关链接※

1、斜率公式：

与两点顺序无关，即两点的横纵坐标在公式中前后次序相同；

2、求斜率的一般方法：

（1）已知直线上两点，根据斜率公式求斜率；

（2）已知直线的倾斜角或的某种三角函数根据来求斜率；

3、利用斜率证明三点共线的方法：

已知若，则有A、B、C三点共线。

注：

斜率变化分成两段，是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。

※例题解析※

〖例〗设是互不相等的三个实数，如果在同一直线上，求证：

（三）两条直线的平行与垂直

〖例〗已知点M（2，2），N（5，-2），点P在x轴上，分别求满足下列条件的P点坐标。

（1）∠MOP=∠OPN（O是坐标原点）；

（2）∠MPN是直角。

二、直线的方程

（一）直线方程的求法

※例题解析※

〖例〗求过点P（2，-1），在x轴和y轴上的截距分别为a、b,且满足a=3b的直线方程。

（二）用一般式方程判定直线的位置关系

※相关链接※

两条直线位置关系的判定

已知直线，，则

（1）

（2）

（3）

（4）

※例题解析※

〖例〗已知直线和直线，

（1）试判断与是否平行；

（2）⊥时，求的值。

（三）直线方程的应用

※相关链接※

利用直线方程解决问题，可灵活选用直线方程的形式，以便简化运算。

一般地，已知一点通常选择点斜式；已知斜率选择斜截式或点斜式；已知截距或两点选择截距式或两点式。

另外，从所求的结论来看，若求直线与坐标轴围成的三角形面积或周长，常选用截距式或点斜式。

注：

（1）点斜式与斜截式是两种常见的直线方程形式，要注意在这两种形式中所要求直线的斜率存在。

（2）“截距”并非“距离”，可以是正的，也可以是负的，还可以是0。

※例题解析※

〖例〗如图，过点P（2，1）作直线，分别为交x、y轴正半轴于A、B两点。

（1）当⊿AOB的面积最小时，求直线的方程；

（2）当｜PA｜·｜PB｜取最小值时，求直线的方程。

三、直线的交点坐标与距离公式

（一）有关距离问题

※相关链接※

1、点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式是常用的公式，应熟练掌握。

2、点到几种特殊直线的距离

（1）点到x轴的距离。

（2）点到y轴的距离.

（3）点到与x轴平行的直线y=a的距离。

（4）点到与y轴平行的直线x=b的距离.

注：

点到直线的距离公式当A=0或B=0时，公式仍成立，但也可不用公式而直接用数形结合法来求距离。

※例题解析※

〖例〗已知点P（2，-1）。

（1）求过P点且与原点距离为2的直线的方程；

（2）求过P点且与原点距离最大的直线的方程，最大距离是多少？

（3）是否存在过P点且与原点距离为6的直线？

若存在，求出方程；若不存在，请说明理由。

（二）有关对称问题

常见的对称问题：

（1）中心对称

①若点及关于对称，则由中点坐标公式得

②直线关于点的对称，其主要方法是：

在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利用，由点斜式得到所求直线方程。

（2）轴对称

①点关于直线的对称

若两点关于直线：

Ax+By+C=0对称，则线段的中点在对称轴上，而且连接的直线垂直于对称轴上，由方程组

可得到点关于对称的点的坐标（其中）

②直线关于直线的对称

此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：

一是已知直线与对称轴相交；二是已知直线与对称轴平行。

※例题解析※

〖例〗求直线关于直线对称的直线的方程。

（三）解析法（坐标法）应用

〖例〗（12）如图，已知P是等腰三角形ABC的底边BC上一点，PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，用解析法证明|PM|+|PN|为定值。

【感悟高考真题】

1．（2011·北京高考文科·T8）已知点，.若点C在函数的图象上，则使得的面积为2的点C的个数为（）

（A）4（B）3（C）2（D）1

2．（2011·安徽高考理科·Ｔ15）在平面直角坐标系中，如果与y都是整数，就称点为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）.

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点

②如果与都是无理数，则直线不经过任何整点

③直线经过无穷多个整点，当且仅当经过两个不同的整点

④直线经过无穷多个整点的充分必要条件是：

与都是有理数

⑤存在恰经过一个整点的直线

3．（2011·安徽高考理科·Ｔ17）如图，为多面体，平面与平面垂直，点在线段上，△，△，△，△都是正三角形。

（Ⅰ）证明直线∥；

（Ⅱ）求棱锥—的体积.

4．（2011·安徽高考文科·Ｔ17）设直线

（I）证明与相交；

（II）证明与的交点在椭圆

直线与方程复习大全

一、直线与方程：

1.直线的倾斜角x轴正方向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0°.因此，直线倾斜角的取值范围是[0°,180°）.

2.直线的斜率①定义：

倾斜角不是90°的直线，的正切叫做这条直线的斜率.直线的斜率通常用k表示.即.当＝0°时，k＝0；当∈（0°,90°）时，k＞0；当∈（90°,180°）时，k＜0；当＝90°时，k不存在.

②经过两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）的直线的斜率公式：

（1）.若直线过点（１，２），（４，２＋），则此直线的倾斜角是――――――（　　　　）

Ａ　３０°　　Ｂ　４５°　　Ｃ　　６０°　　Ｄ　　９０°

（2）．直线的倾斜角和斜率分别是（）

ABC，不存在D，不存在

（3）.如图1，直线，，的斜率分别为k1、k2、k3，

则必有（）A.k1

C.k1

3、直线的方程

a.点斜式：

直线斜率为k，且过点（x1,y1）.

注意：

当直线的倾斜角为0°时直线的斜率k＝0，直线的方程是y＝y1；

当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，直线的方程是x＝x1；

b.斜截式：

，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b（b∈R）

c.两点式：

（）直线经过两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）

d.截矩式：

直线l过点和点,即l在x轴、y轴上的截距分别为（a≠0且b≠0）

注意：

直线l在坐标轴上的截距相等时，斜率为－1或经过原点；

直线l在坐标轴上的截距互为相反数时，斜率为1或经过原点；

e.一般式：

Ax＋By＋C＝0（A,B不全为0）

注意：

①平行于x轴的直线：

y＝b（b为常数）,直线的斜率为0；

②平行于y轴的直线：

x＝a（a为常数）,直线的斜率不存在；

③直线在坐标轴上的截距可以为一切实数

1．把直线l的一般式方程2x-y+6=0化成斜截式方程是.

2．直线l:

在x轴上的截距是.

3．过点Ｐ（１，２）且在Ｘ轴，Ｙ轴上截距相等的直线方程是.

4．线过原点且倾角的正弦值是，则直线方程为.

5．直线x+6y+2=0在x轴和y轴上的截距分别是（）

A.B.C.D.－2，－3

6.mx＋ny＝1（mn≠0）与两坐标轴围成的三角形面积为.

7．已知，则直线通过（）

A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限

C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限

8设直线的倾斜角为，且，则满足（）

A B C D

9已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5，2），则ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（）

（A）x+5y-15=0（B）x=3（C）x-y+1=0（D）y-3=0

10．已知直线过点，

（1）若的倾斜角是直线倾斜角的，求直线的方程；

（2）若在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程；

（3）若与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线的方程。

11过点作一直线，使它与两坐标轴相交且与两轴所围成的三角形面积为