必修一对数函数专题复习.docx

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一、教学目标

1．理解对数的概念，能进行指数式与对数式的互化．

2．掌握对数的运算性质及其推导．

3．能运用对数运算性质进行化简、求值和证明．

4．掌握对数函数的概念、图象和性质．

5．能够根据指数函数的图象和性质得出对数函数的图象和性质，把握指数函数与对数函数关系的实质．

二、上课内容

1、对数和对数运算

2、对数函数

3、对数函数的性质

4、对数函数的图像

三、课后作业

见课后作业

四、家长签名

（本人确认：

孩子已经完成“课后作业”）_________________

对数函数

对数及其运算

【知识点解析】

1．对数的概念

一般地，如果ax＝N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

说明：

（1）实质上，上述对数表达式，不过是指数函数y＝ax的另一种表达形式，例如：

34＝81与4＝log381这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式ax＝N⇔x＝logaN，从而得对数恒等式：

alogaN＝N.

（2）“log”同“＋”“×”“”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面．

（3）根据对数的定义，对数logaN（a>0，且a≠1）具有下列性质：

①零和负数没有对数，即N>0；

②1的对数为零，即loga1＝0；

③底的对数等于1，即logaa＝1.

2．对数的运算法则

利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦然．这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度．

（1）基本公式

①loga（MN）＝logaM＋logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0），即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对数的和．

②loga＝logaM－logaN（a>0，a≠1，M>0，N>0），即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的对数．

③logaMn＝n·logaM（a>0，a≠1，M>0，n∈R），即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数．

（2）对数的运算性质注意点

①必须注意M>0，N>0，例如loga[（－3）×（－4）]是存在的，但是loga（－3）与loga（－4）均不存在，故不能写成loga[（－3）×（－4）]＝loga（－3）＋loga（－4）．

②防止出现以下错误：

loga（M±N）＝logaM±logaN，loga（M·N）＝logaM·logaN，loga＝，logaMn＝（logaM）n.

3．对数换底公式

在实际应用中，常碰到底数不为10的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：

logbN＝（b>0，且b≠1；c>0，且c≠1；N>0）．

证明　设logbN＝x，则bx＝N.两边取以c为底的对数，

得xlogcb＝logcN.所以x＝，即logbN＝.

换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是数学转化思想的具体应用．

由换底公式可推出下面两个常用公式：

（1）logbN＝或logbN·logNb＝1（N>0，且N≠1；b>0，且b≠1）；

（2）logbnNm＝logbN（N>0；b>0，且b≠1；n≠0，m∈R）

对数与对数运算

（一）

【例题解析】

题型一　正确理解对数运算性质

例1、对于a>0且a≠1，下列说法中，正确的是（　　）

①若M＝N，则logaM＝logaN；

②若logaM＝logaN，则M＝N；

③若logaM2＝logaN2，则M＝N；

④若M＝N，则logaM2＝logaN2.

A．①与③　　B．②与④　　C．②　　　　D．①、②、③、④

题型二　对数运算性质的应用

例2、求下列各式的值：

（1）2log32－log3＋log38－5log53；

（2）lg25＋lg8＋lg5·lg20＋（lg2）2；

（3）.

题型三　对数换底公式的应用

例3、计算：

（log2125＋log425＋log85）（log52＋log254＋log1258）．

题型四易错分析

例4、已知log（x＋3）（x2＋3x）＝1，求实数x的值．

【课堂练习】

1．对数式log（a－3）（7－a）＝b，实数a的取值范围是（　　）

2．设a＝log32，则log38－2log36用a表示的形式是（　　）

A．a－2B．3a－（1＋a）2C．5a－2D．－a2＋3a－1

3．log56·log67·log78·log89·log910的值为（　　）

A．1B．lg5C.D．1＋lg2

4．已知loga（a2＋1）

A．（0,1）B.C.D．（1，＋∞）

5．已知函数f（x）＝ax－1＋logax（a>0，a≠1）在[1,3]上最大值与最小值之和为a2，则a的值为（　　）

A．4B.C．3D.

6．若方程（lgx）2＋（lg7＋lg5）lgx＋lg7·lg5＝0的两根为α，β，则αβ等于（　　）

A．lg7·lg5B．lg35C．35D.

7．已知f（log2x）＝x，则f＝________.

8．log（－1）（＋1）＝________.

9．已知lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lgx＝－2＋0.7781，则x＝________.

10．

（1）已知lgx＋lgy＝2lg（x－2y），求log的值；

（2）已知log189＝a,18b＝5，试用a，b表示log365.

11．设a，b，c均为不等于1的正数，且ax＝by＝cz，＋＋＝0，求abc的值．

12．已知a，b，c是△ABC的三边，且关于x的方程x2－2x＋lg（c2－b2）－2lga＋1＝0有等根，试判定△ABC的形状．

对数与对数运算

（二）

题型一、对数式有意义的条件

例1　求下列各式中x的取值范围：

（1）log2（x－10）；

（2）log（x－1）（x＋2）；（3）log（x＋1）（x－1）2.

变式1　在b＝log（a－2）（5－a）中，实数a的取值范围是（　　）

A．a>5或a<2　　　　　B．2

题型二、对数式与指数式的互化

例2　将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：

（1）54＝625；　　　　

（2）log8＝－3；

（3）－2＝16;（4）log101000＝3.

题型三、对数恒等式的应用

例3　

（1）alogab·logbc·logcN的值（a，b，c∈R＋，且不等于1，N>0）；

（2）4（log29－log25）．

【小结】

1．一般地，如果a（a>0，a≠1）的b次幂等于N，就是ab＝N，那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN＝b，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．

2．利用ab＝N⇔b＝logaN（其中a>0，a≠1，N>0）可以进行指数与对数式的互化．

3．对数恒等式：

alogaN＝N（a>0且a≠1）．

【课堂练习】

一、选择题

1．下列指数式与对数式互化不正确的一组是（　　）

A．100＝1与lg1＝0B．27－＝与log27＝－

C．log3＝9与9＝3D．log55＝1与51＝5

2．指数式b6＝a（b>0，b≠1）所对应的对数式是（　　）

A．log6a＝aB．log6b＝aC．logab＝6D．logba＝6

3．若logx（－2）＝－1，则x的值为（　　）

A.－2B.＋2C.－2或＋2D．2－

4．如果f（10x）＝x，则f（3）等于（　　）

A．log310B．lg3C．103D．310

二、解答题

1．求下列各式中x的值

（1）若log3＝1，则求x值；

（2）若log2003（x2－1）＝0，则求x值．

2．求x的值：

（1）x＝log4；

（2）x＝log9；（3）x＝71－log75；

（4）logx8＝－3；（5）logx＝4.

对数与对数运算（三）

题型一、正确理解对数运算性质

例1　若a>0，a≠1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正确的个数有（　　）

①logax·logay＝loga（x＋y）；

②logax－logay＝loga（x－y）；

③loga＝logax÷logay；

④loga（xy）＝logax·logay.

变式1　若a>0且a≠1，x>0，n∈N*，则下列各式正确的是（　　）

A．logax＝－logaB．（logax）n＝nlogaxC．（logax）n＝logaxnD．logax＝loga

题型二、对数运算性质的应用

例2　计算：

（1）log535－2log5＋log57－log51.8；

（2）2（lg）2＋lg·lg5＋；

（3）（lg5）2＋lg2·lg50.

题型三、换底公式的应用

例3　

（1）设3x＝4y＝36，求＋的值；

（2）已知log189＝a,18b＝5，求log3645.

变式3　

（1）设log34·log48·log8m＝log416，求m；

（2）已知log1227＝a，求log616的值．

【小结】

1．对于同底的对数的化简常用方法是：

（1）“收”，将同底的两对数的和（差）化成积（商）的对数；

（2）“拆”，将积（商）的对数拆成对数的和（差）．

2．对于常用对数的化简要充分利用“lg5＋lg2＝1”来解题．

3．对于多重对数符号对数的化简，应从内向外逐层化简求值．

【课堂练习】

1．lg8＋3lg5的值为（　　）

A．－3B．－1C．1D．3

2．已知lg2＝a，lg3＝b，则log36等于（　　）

A.B.C.D.

3．若lga，lgb是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则2的值等于（　　）

A．2B.C．4D.

4．若2.5x＝1000,0.25y＝1000，则－等于（　　）

A.B．3C．－D．－3

5．设函数f（x）＝logax（a>0，且a≠1），若f（x1x2…x2005）＝8，则f（x）＋f（x）＋…＋f（x）的值等于（　　）

A．4B．8C．16D．2loga8

6．若26a＝33b＝62c，求证：

＋＝.

对数函数及其性质

【知识点解析】

1．对数函数的概念

形如y＝logax（a>0且a≠1）的函数叫做对数函数．

对于对数函数定义的理解，要注意：

（1）对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量x恰好是指数函数的函数值y，所以对数函数的定义域是（0，＋∞）；

（2）对数函数的解析式y＝logax中，logax前面的系数为1，自变量在真数的位置，底数a必须满足a>0，且a≠1；

（3）以10为底的对数函数为y＝lgx，以e为底的对数函数为y＝lnx