高中数学教师备课必备系列复数专题三 数系的扩充和Word下载.docx

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教学过程

引入新课

请同学们回答以下问题：

（1）在自然数集N中，方程x＋4＝0有解吗？

（2）在整数集Z中，方程3x－2＝0有解吗？

（3）在有理数集Q中，方程x2－2＝0有解吗？

活动设计：

先让学生独立思考，然后小组交流，最后师生总结．

活动成果：

问题

（1）在自然数集中，方程x＋4＝0无解，为此引进负数，自然数→整数；

问题

（2）在整数集中，方程3x－2＝0无解，为此引进分数，整数→有理数；

问题（3）在有理数集中，方程x2－2＝0无解，为此引进无理数，有理数→实数．

数集的每一次扩充，对数学本身来说，解决了在原有数集中某种运算不能实施的矛盾，如分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．

提出问题：

从自然数集N扩充到实数集R经历了几次扩充？

每一次扩充的主要原因是什么？

每一次扩充的共同特征是什么？

先让学生独立思考，然后小组讨论，师生共同归纳总结．

扩充原因：

①满足解决实际问题的需要；

②满足数学自身完善和发展的需要．

扩充特征：

①引入新的数；

②原数集中的运算规则在新数集中得到保留和扩展，都满足交换律和结合律，乘法对加法满足分配律．

设计意图

回顾从自然数集N扩充到实数集R的过程，帮助学生认识数系扩充的主要原因和共同特征．

探究新知

方程x2＋1＝0在R上有解吗？

如何对实数集进行扩充，使方程x2＋1＝0在新的数集中有解？

小组讨论，类比猜想，设想新数的引进，师生共同完成．

学情预测：

学生讨论可能没有统一结果，无法描述．

类比原来不同阶段数系的每一次扩充的特点，在实数集中方程x2＋1＝0无解，需要引进“新数”扩充实数集．让我们设想引入一个新数i，使i满足两个条件：

（1）i是方程x2＋1＝0的根，即i2＝－1；

（2）新数i与实数之间满足加法、乘法的交换律、结合律以及乘法对加法的分配律．

面对新问题的需要，感到扩充实数集的必要性，通过类比，猜想增添的新数需满足的条件．

同学们设想，实数a与新数i相加，实数b与新数i相乘，结果如何表达？

实数a与实数b和新数i相乘的结果相加，如何表示？

学生动手操作，尝试写出新数与实数加法和乘法的运算，然后教师引导，更正不正确的写法，统一新数的特点，为引出复数的概念做铺垫．

a＋i，bi，a＋bi.

根据条件

（2），i可以与实数b相乘，再与实数a相加．由于满足乘法和加法的交换律，从而都可以把结果写成a＋bi（a，b∈R）的形式．

形如a＋bi（a，b∈R）的数包括所有实数吗？

包括你原来没遇到过的新数吗？

写出实数系经过上述扩充后得到的新数构成的集合C.

学生思考，可以讨论，师生共同总结，得出复数的概念．

形如a＋bi（a，b∈R）的数，包括所有实数，也包括新数bi和a＋bi，实数a和新数i可以看作是a＋bi（a，b∈R）这样数的特殊形式，即a＝a＋0i，i＝0＋i.

实数系经过上述扩充后，得到的新数集C＝{a＋bi|a，b∈R}．

我们把形如a＋bi（a，b∈R）的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．全体复数所构成的集合C叫做复数集，即C＝{a＋bi|a，b∈R}．

复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi（a，b∈R），这一表示形式叫做复数的代数形式．

注意：

今后不做特殊说明，a，b∈R，其中a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部．

让学生自己添加上这些新数，感受实数系的扩充过程，认识扩充后新数的特点，知道复数的代数形式及有关概念．

你认为满足什么条件，可以说这两个复数相等？

学生讨论探究a＋bi＝c＋di时，实部和虚部应满足的条件，教师补充．

活动结果：

若a＋bi＝c＋di（其中a，b，c，d∈R），则a＝b且c＝d，即两个复数相等的充要条件是实部和虚部分别相等．特别地，a＋bi＝0

a＝0且b＝0.

通过探究讨论，让学生对复数相等的概念达成共识，并揭示复数相等的内涵，利用两复数相等，可以得到关于实数的方程组，进而得到a，b的值．

理解新知

对于复数z＝a＋bi，当且仅当a，b满足什么条件时，z为实数，为0，为虚数，为纯虚数？

学生思考、讨论，师生总结．

当且仅当b＝0时，复数z＝a＋bi是实数；

当且仅当a＝b＝0时，复数z＝a＋bi为0；

当且仅当b≠0时，复数z＝a＋bi是虚数；

当且仅当a＝0且b≠0时，复数z＝a＋bi为纯虚数．

让学生进一步理解复数的代数形式，明确复数z＝a＋bi为实数、虚数和纯虚数的充要条件．

实数系扩充到复数系后，实数集R与复数集C有怎样的关系？

你能类比实数的分类，对复数进行合理的分类吗？

试用韦恩图表示复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系．

小组讨论，学生尝试分类，教师引导归纳．

实数集R是复数集C的真子集，即RC.复数z＝a＋bi可以分类如下：

复数z

复数集、实数集、虚数集和纯虚数集之间的关系用图表示如下：

让学生了解数系扩充后复数的正确分类及各数系之间的包含关系．

任意两个复数可以比较大小吗？

若可以，请说明进行比较的方法；

若不可以，请说明理由．

让学生思考，议论后发言，教师点拨．

学生可能不知所云，无法下结论，也可能类比实数的大小比较，认为可以比较大小．

若两个复数都是实数，则可以比较大小；

否则就不能比较大小．因此，一般说来，两个复数只能说相等或不相等，而不能比较其大小．

运用新知

例1请说出下列复数的实部和虚部，并判断它们是实数，虚数还是纯虚数．

①2＋3i；

②－3＋

i；

③

＋i；

④π；

⑤－

i；

⑥0.

思路分析：

根据复数的代数形式及实部和虚部的概念找出各复数的实部和虚部，根据虚数、纯虚数的概念判断．

解：

①的实部为2，虚部为3，是虚数；

②的实部为－3，虚部为

，是虚数；

③的实部为

，虚部为1，是虚数；

④的实部为π，虚部为0，是实数；

⑤的实部为0，虚部为－

，是纯虚数；

⑥的实部0，虚部为0，是实数．

点评：

复数a＋bi中，实数a和b分别叫做复数的实部和虚部．特别注意，b为复数的虚部而不是虚部的系数，b连同它的符号叫做复数的虚部．

巩固练习

符合下列条件的复数一定存在吗？

若存在，请举出例子；

若不存在，请说明理由．

（1）实部为－

的虚数；

（2）虚部为－

（3）虚部为－

的纯虚数；

（4）实部为－

的纯虚数．

解答：

（1）存在且有无数个，如－

＋i等；

（2）存在且不唯一，如1－

i等；

（3）存在且唯一，即－

（4）不存在，因为纯虚数的实部为0.

例2实数m取什么数值时，复数z＝m＋1＋（m－1）i是

（1）实数；

（2）虚数；

（3）纯虚数．

因为m∈R，所以m＋1，m－1都是实数．由复数z＝a＋bi是实数、虚数和纯虚数的条件可以确定m的取值．

这是一道巩固复数概念的题目，首先要在变化中认识复数代数形式的结构，正确判断复数的实部和虚部；

然后依据复数是实数、虚数、纯虚数的条件，用列方程（或不等式）的方法求出相应的m的取值．

变式练习

已知集合M＝{1,2，（a2－3a－1）＋（a2－5a－6）i}，N＝{－1,3}，若M∩N＝{3}，则实数a＝______.

提示：

由M∩N＝{3}知，3∈M，即有（a2－3a－1）＋（a2－5a－6）i＝3，

所以

解得a＝－1.

例3已知（2x－1）＋i＝y－（3－y）i，其中x，y∈R，求x，y的值．

根据两复数相等的概念，列出关于x与y的方程组，可求得x，y的值．

根据复数相等的定义可得，

解得x＝

，y＝4.

根据两复数相等的定义求其中参数值的问题，应首先将复数转化为代数形式，并确定其实部和虚部，然后利用两复数相等的充要条件，即实部和虚部分别相等列出相应的方程组，然后解方程组求出参数的值．

变练演编

1．给出实数－1、1和0，你能构成哪些不同的复数？

2．已知复数z＝（x2＋5x＋6）＋（x2－2x－15）i（x∈R），需要添加条件：

____________，即可求实数x的值．

达标检测

1．下列说法正确的是（　　）

①实数是复数；

②虚数是复数；

③实数集和虚数集的交集不是空集；

④实数集与虚数集的并集等于复数集．

A．①②③B．①②④

C．②④D．①②③

2．a＝0是复数z＝a＋bi（a，b∈R）为纯虚数的（　　）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

3．复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a的值为（　　）

A．1B．1或－4

C．－4D．0或－4

4．以2i－

的虚部为实部，以

i－2i2的实部为虚部的复数是__________．

课堂小结

可以先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；

然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络、思想方法、解题规律等．

1．内容知识：

2．解题规律方法：

3．思想方法：

布置作业

教材本节练习第3题，习题3.1A组1,2题．

补充练习

1．设集合C＝{复数}，A＝{实数}，B＝{纯虚数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是…（　　）

A．A∪B＝CB．

A＝B

C．A∩

B＝

D．B∪

B＝C

2．在下列命题中，正确命题的个数为（　　）

①两个复数不能比较大小；

②1＋i2>

0；

③若（x2－1）＋（x2＋3x＋2）i是纯虚数，则实数x＝±

1；

④若a，b是两个相等的实数，则（a－b）＋（a＋b）i是纯虚数．

A．0B．1

C．2D．3

3．复数（2x2＋5x＋2）＋（x2＋x－2）i为虚数，则实数x满足（　　）

A．x＝－

B．x＝－2或－

C．x≠－2D．x≠1且x≠－2

4．已知集合M＝{1，（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）i}，集合P＝{－1,0}．若M∩P＝{0}，则实数m的值为（　　）

A．－1B．－1或4

C．6D．6或－1

5．复数z1＝a＋|b|i，z2＝c＋|d|i（a、b、c、d∈R），则z1＝z2的充要条件是__________．

6．已知m∈R，复数z＝

＋（m2＋2m－3）i，当m为何值时，

（1）z∈R；

（2）z是虚数；

（3）z是纯虚数；

（4）z＝

＋4i?

答案或提示：

1.D　2.A　3.D　4.A　5.a＝c且b2＝d2

设计说明

本节课的教学设计以问题为驱动，通过不断提出问题，研究问题，解决问题，使学生回顾旧知识获得新知识，完成数系的扩充和复数概念的教学．

复数的概念如果单纯地讲解或介绍会显得较为枯燥无味，学生不易接受，本课时将已有知识和新学知识通过问题链设计教学，让学生体验已学过的数集的扩充历史，体会数集的扩充是生产实践的需要，也是数学学科自身发展的需要；

通过小组合作学习，使学生了解数的发展过程和规律，对各种数集之间的关系有着比较清晰、完整的认识，从而学生更容易积极主动地建构虚数的概念、复数的概念、复数的分类以及两复数相等的条件．

备课资料

数的发展史

数的概念是从实践中产生和发展起来的．早在人类社会初期，人们在狩猎、采集果实等劳动中，由于计数的需要，就产生了1,2,3,4等数以及表示“没有”的数0.自然数的全体构成自然数集N.

随着生产和科学的发展，数的概念也得到发展．

为了解决测量、分配中遇到的将某些量进行等分的问题，人们引进了分数；

为了表示各种具有相反意义的量以及满足记数的需要，人们又引进了负数．这样就把数集扩充到有理数集Q.显然N

Q.如果把自然数集（含正整数和0）与负整数集合并在一起，构成整数集Z，则有Z

Q、N

Z.如果把整数看作分母为1的分数，那么有理数集实际上就是分数集．

有些量与量之间的比值，例如用正方形的边长去度量它的对角线所得的结果，无法用有理数表示，为了解决这个矛盾，人们又引进了无理数．所谓无理数，就是无限不循环小数．有理数集与无理数集合并在一起，构成实数集R.因为有理数都可看作循环小数（包括整数、有限小数），无理数都是无限不循环小数，所以实数集实际上就是小数集．

数因为生产和科学发展的需要而逐步扩充，数集的每一次扩充，对数学学科本身来说，也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾，分数解决了在整数集中不能整除的矛盾，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾．但是，数集扩到实数集R以后，像x2＝－1这样的方程还是无解的，因为没有一个实数的平方等于－1.由于解方程的需要，人们引入了一个新数i，叫做虚数单位．并由此产生了复数．