归纳与猜想.doc

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三．归纳与猜想

一、知识综述

归纳是一种重要的推理方法，是根据具体事实和特殊现象，通过实验、观察、比较、概括出一般的原理和结论。

猜想是一种直觉思维，它是通过对研究对象的实验、观察和归纳、猜想它的规律和结论的一种思维方法。

猜想往往依据直觉来获得，而恰当的归纳可以使猜想更准确。

我们在进行归纳和猜想时，要善于从变化的特殊性中寻找出不变的本质和规律。

二、理解掌握

例1、用等号或不等号填空：

（1）比较2x与x2＋1的大小

①当x＝2时，2xx2＋1；

②当x＝1时，2xx2＋1；

③当x＝－1时，2xx2＋1．

（2）可以推测：

当x取任意实数时，2xx2＋1．

分析：

本题是通过计算发现和猜想一般规律题，正确计算和发现规律是关键。

解：

（1）＜，＝，＜；

（2）≤。

例2、观察下列分母有理化的计算：

，，，

…从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算：

=＿＿＿＿。

分析：

解本题时，要抓住分每有理化后的结果都是两数之差，且可以错位相消。

还要注意相消后所剩下的是什么。

解：

=

=

=2002—1

=2001。

例3、观察下列数表：

1234…第一行

2345…第二行

3456…第三行

4567…第四行

…………

第一列第二列第三列第四列

根据数表所反映的规律，猜想第6行与第6列的交叉点上的数应为＿＿＿＿，第n行与第n列交叉点上的数应为＿＿＿＿。

（用含正整数n的式子表示）

分析：

本题要求的是同行同列交叉点上的数，因此，必须先研究同行同列交叉点上的数有什么规律，然后利用此规律解题。

解：

11，2n—1.

例4、将一个边长为1的正方形纸，剪成四个大小一样的正方形，然后将其中的一个按同样的方法剪成四个正方形，如此循环下去，观察下列图形和所给表格中的数据后填空格。

操作的次数

1

2

3

...10

.....n

……

正方形个数

4

7

10

……

分析：

解本题的关键是：

先归纳总结操作的次数与正方形个数之间的关系，再猜想空格中的结果。

解：

操作的次数是10时，正方形个数为31；操作的次数是n时，正方形个数为1+3n.

例5、下面三个图是由若干盆花组成形如三角形的图案，每条边（包括顶点）有n（n>1）盆花，每个图案花盆总数为S，按此规律推断，S与n的关系式是＿＿＿＿＿＿。

n=2n=3n=4

S=3S=6S=9

分析：

题目给出了“每条边（包括顶点）有n（n>1）盆花”，而三角形有三条边，因此，三条边上的的花盆数量为3n，但每个顶点上的花盆用了两次，必须减去。

所以S=3n—3。

解：

S=3n—3。

三、拓宽应用

例6、⑴如下表：

方程1，方程2，方程3，……，是按照一定规律排列的一列方程，解方程1，并将它的解填在表中的空白处：

序号

方程

方程的解

1

＿＿

＿＿

2

3

…

…

…

…

⑵若方程的解是，，求a，b的值，该方程是不是⑴中所给出的一列方程中的一个方程？

如果是，它是第几个方程？

⑶请写出这列方程中的第n个方程和它的解，并验证所写出的解适合第n个方程。

分析：

通过解方程不难求出：

x1=3,x2=4，将，代入方程易求a=12,b=5。

本题较难的是写出第n个方程和它的解，解决难点的关键是观察表格中方程和它们的解的排列规律，特别是每个变化的数与序号的关系。

解：

（1）解方程得，x1=3,x2=4；

（2）将，代入方程，易求得a=12,b=5；

（3）第n个方程是：

，它的解是：

。

例7、图形的操作过程（本题中四个矩形的水平方向的边长均为a，竖直放行上的边长均为b）：

●在图1中，将线段向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）

●在图2中，将折线向右平移1个单位到，得到封闭图形（即阴影部分）

（图1）（图2）（图3）

⑴在图3中，请你类似地画一条有两个折点的折线，同样向右平移1个单位，从而得到一个封闭的图形，并用斜线画出阴影；

⑵请你分别写出上述三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积：

=＿＿＿＿；=＿＿＿＿；=＿＿＿＿

⑶联想与探索：

如图4，在一块矩形草地上，有一条弯曲的柏油小路（小路任何地方的水平宽度都是1个单位），请你猜想空白部分表示的草地面积是多少？

并说明你的猜想是正确的。

分析：

本题考查的内容较多，有动手操作、有计算、有归纳猜想，还有想象。

（1）和

（2）两问并不困难，第（3）问可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b，这样面积就不难求了。

解：

（1）

（2）=ab--b；=ab--b；=ab—b;

（3）空白部分表示的草地面积是ab—b。

（可想象将中间的小路从中抽去，再拼起来后仍然是一个矩形，这时它的两边长分别是a—1,b）

例8、阅读下列材料，按要求解答问题。

⑴观察下面两块三角尺它们有一个共同的性质：

∠A=2∠B。

我们由此出发来进行思考。

在图a中，作斜边上的高CD，由于∠B=30°，可知c=2b，∠ACD=30°，于是AD=，BD=，由△CDB∽△ACB ，可知，即，同理，于是。

图a图b图c

对于图b由勾股定理有，由于b=c，故也有，这两块三角尺都具有性质，在△ABC中，如果有一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这种三角形为倍角三角形。

两块三角尺就都是特殊的倍角三角形，上面的性质仍然成立吗？

暂时把我们的设想作为一个猜测：

如图c，在△ABC中，若∠CAB=2∠ABC，则，在上述由三角尺的性质到“猜测”这一认识过程中，用到了下列四种数学思想方法中的哪一种？

选出一个正确的将其序号填在括号内（）

①分类的思想方法；②转化的思想方法；③由特殊到一般的思想方法；④数形结合的思想方法。

⑵这个猜测是否正确？

请证明。

分析：

通过阅读可以发现：

本题的研究是先从特殊情况入手，再得出一般情况的结论，因此，主要运用的是由特殊到一般的思想方法。

故选③；一般情况下的证明虽然方法较多，但是有一定的难度，应加强解题思路的分析。

解：

（1）③；

（2）猜测是正确的。

证明：

延长BA到D，使AD=AC=b，连结CD，则∠ACD=∠ADC，

∵∠BAC=∠ACD+∠ADC，∴∠BAC=2∠ADC

C

∴

∴

∵∠BAC=2∠ABC∠ABC=∠ADC，且BC=CD=a，∴△ACD∽△CBD

D

A

B

a

a

b

b

c

想一想：

还有其他证明方法吗？

四、巩固训练

1、观察下列有规律的数，并根据规律写出第五个数：

＿＿＿

2、观察下列图形并填表。

1

11

2

梯形的个数

1

2

3

4

5

6

……

n

周长

5

8

11

14

……

3、下列每个图形都是若干棋子围成的正方形图案，图案的每条边（包括两个顶点）上都有n（n≥2）个棋子，每个图案的棋子总数为S，按下图的排列规律推断，S与n之间的关系可以用式子＿＿＿＿来表示。

··············

·········

n=2·······

S=4n=3······

S=8n=4·····

S=12n=5S=16

4、⑴判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”

①（）②（）

③（）④（）

⑵你判断完以上各题后，发现了什么规律？

请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围：

＿＿＿＿＿＿＿＿。

⑶请用数学知识说明你所写的式子的正确性。

5、已知AC、AB是⊙O的弦，AB＞AC。

（1）如图9，能否在AB上确定一个点E，使AC=AE·AB，为什么？

（2）如图10，在条件

（1）的结论下延长EC到P，连结PB。

如果PB=PE，试判断PB和⊙O的位置关系并说明理由。

（3）在条件

（2）的情况下，如果E是PD的中点，那么C是PE的中点吗？

为什么？

（重庆市中考试题）

AAD

CCEO

O

P

BB

图9图10

本题三个小题全是结论探索题。

参考答案

1、，2、17，20，2+3n3、4n-44、

（1）√√√√，

（2）

5、

（1）能，连结BC，作∠ACE=∠B。

（证明略）

（2）PB是⊙O的切线（证明略）

（3）是。

（提示：

利用切割线定理和PE=PB、PD=2PE）。