广西贵港市2018届高三上学期12月联考数学(理)试题+Word版含解析.doc
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贵港市2018届高中毕业班12月联考
理科数学
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.集合，若，，则集合中的元素个数为（）
A.2B.3C.4D.5
【答案】C
【解析】结合交集的结果可知：
，且，
结合交集的结果可得：
，
综上可得：
，
集合中的元素个数为4.
本题选择C选项.
2.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题：
“今有池方一丈，葭生其中央，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐.问水深、葭长各几何.”其意思是：
有一水池一丈见方，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐（如图所示），问水有多深，该植物有多长？
其中一丈为十尺.若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】如图所示，设水深为尺，由题意可得：
，
求解关于实数的方程可得：
，
即水深为尺，又葭长为尺，
则所求问题的概率值为.
本题选择A选项.
3.若复数满足，则（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由复数模的定义有：
，
则：
.
本题选择D选项.
4.已知等差数列中，，，若，则数列的前10项和等于（）
A.90B.150C.440D.880
【答案】C
【解析】本题考查等差数列的定义，通项公式和前n项和公式及数列的基本运算.
设公差为则所以于是
.，数列是等差数列，则数列的前5项和等于故选C
5.正数满足，则（）
A.B.C.D.
【答案】C
则：
.
本题选择C选项.
6.在的展开式中，常数项为（）
A.-240B.-60C.60D.240
【答案】D
【解析】试题分析：
的展开式中，，令12－3r=0，得，r=4，常数项等于=15，故选A。
考点：
本题主要考查二项展开式的通项公式。
点评：
简单题，利用二项展开式的通项公式，确定使其为常数项的r值，然后求常数项。
7.如图，网格纸上小正方形的边长为1，下图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）
A.16B.C.12D.
【答案】B
【解析】结合三视图可得，该几何体是正方体截去一部分之后的四棱锥，
如图所示，该几何体的表面积为：
.
本题选择B选项.
点睛：
（1）以三视图为载体考查几何体的表面积，关键是能够对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系．
（2）多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积应注意重合部分的处理．
8.执行如图的程序框图，那么输出的值是（）
A.20B.21C.35D.56
【答案】C
【解析】阅读流程图，程序运行如下：
；
；
；
；
；
；
则输出值为.
本题选择C选项.
9.已知函数，是奇函数，则（）
A.在上单调递减B.在上单调递减
C.在上单调递增D.在上单调递增
【答案】B
【解析】由函数的解析式有：
，
函数为奇函数，则当时：
，
令可得：
，
即函数的解析式为：
，
结合函数的性质可得：
函数在区间上不具有单调性，在区间上单调递减.
本题选择B选项.
10.直线与抛物线相交于两点，抛物线的焦点为，设，则的值为（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】设，若，
则，，
则，，
故：
，
若，同理可得：
.
本题选择A选项.
点睛：
（1）直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；
（2）有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
11.若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】由题意结合对数的运算法则有：
，
由对数函数的单调性有：
，
整理可得：
，由恒成立的条件有：
，
其中，当且仅当时等号成立.
即时，函数取得最小值.
综上可得：
.
本题选择D选项.
12.已知函数的图象经过点，，当时，，记数列的前项和为，当时，的值为（）
A.7B.6C.5D.4
【答案】D
【解析】由题意结合函数的解析式可得：
，求解方程组有：
.
则函数的解析式为：
，
当时，，
则：
，
由可得：
.
本题选择D选项.
点睛：
使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.向量，，则__________．
【答案】5
【解析】由题意可得：
，
则：
.
14.已知不等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域有公共点，则实数的取值范围是__________．
【答案】
【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，
直线恒过定点，
则满足条件的直线介于直线与直线之间.
点的坐标，，其中，
即实数的取值范围是.
点睛：
目标函数中含有参数时，要根据问题的实际意义注意转化成“直线的斜率”、“点到直线的距离”等模型进行讨论研究。
当参数在线性规划问题的约束条件中时，作可行域要注意应用“过定点的直线系”知识，使直线“初步稳定”，再结合题中的条件进行全方面分析才能准确获得答案.
15.设双曲线的右焦点为，则到渐近线的距离为__________．
【答案】1
【解析】结合双曲线的方程可得：
，则：
，
右焦点坐标为，一条渐近线方程为：
，
即：
，则右焦点到渐近线的距离为：
.
16.如图所示，正方体的棱长为1，线段上有两个动点，则下列结论中正确结论的序号是__________．
①；
②直线与平面所成角的正弦值为定值；
③当为定值，则三棱锥的体积为定值；
④异面直线所成的角的余弦值为定值.
【答案】①③
【解析】连接，交于点.很明显平面，
而平面，①正确；
由AC⊥平面BB1D1D，得OE是AE在平面BB1D1D上的射影,所以∠AEO是直线AE与平面DBB1D1所成角,由于AE不是定值,所以②不正确;
由于点B到直线B1D1的距离不变,故△BEF的面积为定值,又点A到平面BEF的距离为,故三棱锥E-ABF的体积为定值,故③正确;
当E在D1,F在B1,此时异面直线AE,BF所成的角为,故④不正确;
应填:
①③.
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17.在中，分别是内角的对边，且，.
（1）求边的值；
（2）求的周长的最大值.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）由题意结合两角和差正余弦公式和余弦定理可得.
（2）由题意结合余弦定理有，结合均值不等式等号成立的条件可知的周长的最大值为.
试题解析：
（1）由得.
∴，即.
由正弦定理得，故.
（2）由余弦定理得，.
∴，∴.
所以当时，的周长的最大值为.
18.2018年全国数学奥赛试行改革：
在高二一年中举行5次全区竞赛，学生如果其中2次成绩达全区前20名即可进入省队培训，不用参加其余的竞赛，而每个学生最多也只能参加5次竞赛.规定：
若前4次竞赛成绩都没有达全区前20名，则第5次不能参加竞赛.假设某学生每次成绩达全区前20名的概率都是，每次竞赛成绩达全区前20名与否互相独立.
（1）求该学生进入省队的概率.
（2）如果该学生进入省队或参加完5次竞赛就结束，记该学生参加竞赛的次数为，求的分布列及的数学期望.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）由题意结合对立事件概率公式可得：
该学生进入省队的概率为；
（2）由题意可知的可能取值为2,3,4,5，求解相应的概率值得到分布列，结合分布列计算可得的数学期望为.
试题解析：
（1）记“该生进入省队”的事件为事件，其对立事件为，则.
∴.
（2）该生参加竞赛次数的可能取值为2,3,4,5.
，，
.
.
故的分布列为：
.
19.如图，在四棱锥中，底面，底面为菱形，，，过作平面与直线平行，交于.
（1）求证：
为的中点；
（2）求二面角的余弦值.
【答案】
（1）证明见解析；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）由题意结合线面平行的判定定理可证得平面，结合几何关系即可证得为的中点；
（2）由题意作出二面角的平面角，结合几何关系计算可得二面角的余弦值为.
试题解析：
（1）证明：
连结，设，连接，则为的中点，且面面，
∵平面，∴，∴为的中点.
（2）∵，∴底面，∴.
又∵，，∴平面.
过点作的垂线，交于，连接.
∵，∴，∴为所求的平面角.
，∴，又，∴.
∴，
∴二面角的余弦值为.
点睛：
作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角．
20.椭圆的右焦点为，过作圆的切线交轴于点，切点为线段的中点.
（1）求椭圆的方程；
（2）曲线与椭圆交于四点，若这四个点都在同一个圆上，求此圆的圆心坐标.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】试题分析：
（1）由题意可得，.则椭圆的方程为；
（2）设出点的坐标，结合几何体的对称性和点差法计算可得圆心坐标为.
试题解析：
（1）由已知得，且，∴，∴.
所以椭圆的方程为；
（2）由曲线知曲线的图象关于轴对称，
又椭圆的图象也是关于轴对称，所以圆心在轴上，
设圆心为，曲线与椭圆在一、四象限交于，
两点，则，.
把代入得，∴，
又由得，
即，
∵，∴，∴.
所以此圆的圆心坐标为.
21.已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间；
（2）证明：
对任意时，.
【答案】
（1）时，递增区间为，递减区间为，时，递增区间为，，单调递减区间为；
（2）证明见解析.
【解析】试题分析：
（1）对函数求导有，分类讨论有：
时，递增区间为，递减区间为，时，递增区间为，，单调递减区间为；
（2）由题意结合
（1）的结论有.结合题意利用放缩法即可证得题中的不等式.
试题解析：
（1），，
①若，当时，，当时，.
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
②若，当时，，当或时，，
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为；
（2）证明：
当时，由
（1）知在处取得最小值，
∴，即，
当时，恒有.
∴
.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22.在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数），在极点和直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合的极坐标系中，圆的极坐标方程为.
（1）若直线与圆相切，求的值；
（2）若直线与曲线相交于两点，求的值.
【答案】
（1）；
（2）.
【解析】试题分析：
（2）联立直线与二次曲线的方程，结合弦长公式计算可得的值是.
试题解析：
（1）圆的直角坐标方程为，
直线的一般方程为，
∴，∴；
（2）曲线的一般方程为，代入得，
∴，，
∴.
23.已知函数.
（1）求证：
；
（2）解不等式.
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