哈工大图论习题文档格式.docx
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13.设G是一个(p,q)图,证明:
(a)q≥p,则G中有回路;
(b)若q≥p+4,则G包含两个边不重的回路。
14.证明:
若图G不是连通图,则Gc是连通图。
15.设G是个(p,q)图,试证:
(a)δ(G)·
δ(GC)≤[(p-1)/2]([(p+1)/2]+1),若p≡0,1,2(mod4)(b)δ(G)·
δ(GC)≤[(p-3)/2]·
[(p+1)/2],若p≡3(mod4)
16.证明:
每一个自补图有4n或4n+1个顶点。
17.构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图,其中n≥3。
18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点u和v,均有degu+degv≥9
19.试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
20.试证:
图xx的图不是xx图。
21.完全偶图Km,n为哈密顿图的充分必要条件是什么?
22.菱形12面体的表面上有无哈密顿回路?
23.设G是一个p(p≥3)个顶点的图。
u和v是G的两个不邻接的顶点,并且degu+degv≥p。
G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。
24.设G是一个有p个顶点的图。
若p>
2δ(G),则有长至少为2δ(G)的路。
25.证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。
26.证明:
若p为奇数,则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。
28.xx邮路问题:
一个邮递员从邮局出发投递信件,然后返回邮局。
若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道,那么如何选择投递路线,以便走尽可能少的路程。
这个问题是我国数学家管梅谷于1962年首先提出的,国外称之为中国邮路问题。
(1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。
(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。
第二章习题
18.在图
1.4.5中,一只车从位置A出发,在半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B。
至少有一个格点,没有车走过,或被走过不至一次。
19.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点u和v,均有degu+degv≥9
20.试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。
u和v是G的两个不邻接的顶点,并且degu+degv≥p
27.xx邮路问题:
第三章习题
1.分别画出具有
4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)。
2.证明:
每个非平凡树是偶图。
3.设G是xx且Δ(G)≥k,证明:
Gxx至少有k个度为1的顶点。
4.令G是一个有p个顶点,k个支的森林,证明:
G有p-k条边。
5.设T是一个k+1个顶点的树。
若图G的最小度δ(G)≥k,则G有一个同构于T的子图。
6.xxT有n
2个度为2的顶点,n
3个度为3的顶点,…,n
k个度为k的顶点,则T有多少个度为1的顶点?
7.设G是一个连通图。
G的子图G
1是G的某个生成树的子图,当且仅当G1没有回路。
8.证明:
连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边。
9.设G是一个边带权连通图,G的每条边均在G的某个回路上。
若G的边e的权大于G的任一其他边的权,则e不在G的任一最小生成树中。
10.设G=(V,E,w)是一个边带权连通图,对任意x∈E,w(x)≥0。
G的一个生成树T是G的最小生成树,当且仅当时G的任一与T的距离为1的生成树T´
´
满足条件:
在T中而不在T´
中的边e的权w(e)不大于在T´
中而不在T中的边e´
的权w(e´
)。
11.某镇有1000人,每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的人。
已知任何消息,只要镇上有人知道,都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道。
可选出90个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息,经10天就会为全镇居民知道。
12.P个顶点的图中,最多有多少个割点?
13.证明:
恰有两个顶点不是割点的连通图是一条路。
有一座桥的三次图中至少有10个顶点。
15.设v是图G的一个割点,证明v不是G的补图Gc的割点。
16.设v是图G的一个顶点。
v是G的割点当且仅当有邻接v的两个不同的顶点u和w,使得v在u与w间的每一条路上。
17.割点的连通图是否一定不是欧拉图?
是否一定不是哈密顿图?
有桥的连通图是否一定不欧拉图和哈密顿图。
18.L是连通图G的一个回路,x和y是L上的两条边。
G有个割集S使得x与y恰好是L与S的公共边。
第四章习题
1.设G是一个有p个顶点的图,δ(G)≥((p+k)-1)/2,试证:
G是k-连通的。
2.若(p,q)图G是k-边连通的,试证:
q≥kp/2。
3.设G是k-边连通的,k>
0,E´
是G的k条边的集合。
G-E´
的支数小于或等于2。
4.构造一个(p,q)图G使得δ(G)=[p/2-1],λ(G)<
δ(G).
5.设k>
0。
构造一个k-连通图G,以及G的k个顶点之集V´
,使得G-V´
的支数大于2。
6.G是一个三次正则图,试证:
χ(G)=λ(G)。
7.设r≥2,G是r正则图。
λ(G)≥[r/2]。
8.构造一个图G,使得χ(G)=3,λ(G)=4,δ(G)=5。
图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路。
10.设G=(V,E)是2-边连通图,X和Y是V的子集,|X|≥2,|Y|≥2且X∩Y=Φ。
在G中加入两个新的顶点s和t,s与X的每个顶点之间联成一条边,t与Y的每个顶点间加一条边,这样得到的图记为G´
。
G´
是2-连通的。
11.若G是顶点数p≥11的平面图,试证Gc不是平面图。
12设S={x
1,x
2,x
3,…,x
n}是平面上n个顶点的集合,n≥3,其中任两顶点的距离至少是1。
Sxx至多有3n-6对顶点,其距离为1。
不存在7条棱的凸多面体。
14.图G的最短回路的长度称为G的围长;
若G中无回路,则定义G的围长为无穷大。
(ⅰ)证明:
围长为r的平面连通图G中有
q≤r(p-2)/(r-2),r≥3
(ⅱ)利用(ⅰ)证明Petersen图(见图
3.6.4)不是平面图。
15.设G是一个没有三角形的平面图。
应用欧拉公式证明G中有一个顶点v使得degv≤3。
**
16.设G是一个平面图。
G同构于G当且仅当G是连通的。
17.证明:
若G是自对偶的,则q=2p-
2.
18.设G是一个没有三角形的图。
应用教学归纲法证明G是4-可着色的(事实上,可以证明G是3-可着色的)。
19.设G是一个有p个顶点的d-正则图,证明:
k(G)≥p/(p-d)。
20.试用5-色定理的证明方法来证明4色定理,在哪一点证明会失败呢?
22
21.设G是一个(p,q)图,证明:
k(G)≥p/(p-2p)。
22.证明:
若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点,则k(G)≤5。
23.证明:
每个xx平面图都是4-可着色的。
24.设G是一个xxxx图,证明:
k´
(G)=3。
25.若r是奇数且G是r-正则图,证明:
(G)=r+1。
26.若G是彼德森图,证明:
(G)=4。
第五章习题
1.给出有向图的子图、生成子图、导出子图的定义。
2.画出具有三个顶点的所有互不同构的有向图的图解。
3.具有p个顶点的完全有向图中有多少条弧?
4.设D是一个有p个顶点q条弧的有向图。
若D是连通的,证明
p-1≤q≤p(p-1)。
5.设D是一个有p个顶点q条弧的强连通的有向图,则q至少是多大?
6.在有向图中,含有所有顶点和所有弧的有向闭迹称为有向欧拉闭迹。
一个有向图若含有有向欧闰闭迹,则称此有向图为有向欧拉图。
有向图D=(V,A)是有向欧拉图当且仅当D是连通的且对任意的v∈V,总有id(v)=od(v)。
7.证明:
有向图D是单向连通的当且仅当D有一条生成通道。
8.设A是一个n×
nxx矩阵,试证:
(2)
(I∨A)=(I∨A)(I∨A)=I∨A∨A
其中I是n×
n单位矩阵。
其次,证明:
对任意的正整数r,有
(I∨A)(r)=I∨A∨A
(2)∨…∨A(r)
9.设B是有向图D=(V,A)的邻接矩阵,|V|=p。
试证D的可达矩阵R为R=(I∨B)(p)
10.xxD的图解如图一所示
(1)写出D的邻接矩阵及可达矩阵。
(2)写出Dxx。
v4v
1v
4v
1D:
v5V3v
2v
3v
2图一图二
11.设D为图二中的xx,试求v
2到其余每个顶点的长≤4的所有通道的条数。
12.已知有向图D的邻接矩阵B,如何从B求D的可达矩阵R?
13.设T是一个正则m元有序树,它有n
0个xx,T有多少条弧?
14.令T是一个正则m元树,它有i个内顶点(出度为m)。
若E为所有内顶点深度之和,i为所有叶顶点深度之和,证明:
I=(m-1)I+mi。
15.设T是一个有n
0个叶子的二元树,出度为2的顶点为n2,试证:
n0=n
2+1。
16.具有三个顶点的有序树共有多少个?
具有三个顶点的有根树有多个?
注意,同构的只算一个。
17.一个有序树称为一个2-3树,若每个内顶点有2个或3个儿子,并且从根顶点到每个叶子的路长均相等。
若T是一个高为h的2-3树,则
(1)T的顶点数p满足2h+1-1≤p≤3h+1-1。
hh
(2)T的xx数在2与3之间。
18.T是一个正则二元树,它有i个内顶点(出度为2)。
若E为所有内顶点深度之和,I为所叶顶点的深度之和,证明:
I=E+2i。