1、13设G是一个(p,q)图,证明:(a)qp,则G中有回路;(b)若qp+4,则G包含两个边不重的回路。14证明:若图G不是连通图,则Gc是连通图。15设G是个(p,q)图,试证:(a)(G)(GC)(p-1)/2(p+1)/2+1),若p0,1,2(mod 4)(b)(G)(GC)(p-3)/2(p+1)/2,若p3(mod 4)16证明:每一个自补图有4n或4n+1个顶点。17构造一个有2n个顶点而没有三角形的三次图,其中n3。18.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点u和v,均有degu+degv919试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。20试证:图xx的图不是xx
2、图。21完全偶图Km,n为哈密顿图的充分必要条件是什么?22菱形12面体的表面上有无哈密顿回路?23设G是一个p(p3)个顶点的图。u和v是G的两个不邻接的顶点,并且degu+degvp。G是哈密顿图当且仅当G+uv是哈密顿图。24设G是一个有p个顶点的图。若p2(G),则有长至少为2(G)的路。25证明具有奇数顶点的偶图不是哈密顿图。26证明:若p为奇数,则Kp中有(p-1)/2个两两无公共边的哈密顿回路。28xx邮路问题:一个邮递员从邮局出发投递信件,然后返回邮局。若他必须至少一次走过他所管辖范围内的每条街道,那么如何选择投递路线,以便走尽可能少的路程。这个问题是我国数学家管梅谷于1962
3、年首先提出的,国外称之为中国邮路问题。(1)试将中国邮路问题用图论述语描述出来。(2)中国邮路问题、欧拉图问题及最短路问题之间有何联系。第二章习题18在图1.4.5中,一只车从位置A出发,在半张棋盘上走,每步走一格,走了若干步后到了位置B。至少有一个格点,没有车走过,或被走过不至一次。19.给出一个10个顶点的非哈密顿图的例子,使得每一对不邻接的顶点u和v,均有degu+degv920试求Kp中不同的哈密顿回路的个数。u和v是G的两个不邻接的顶点,并且degu+degvp27xx邮路问题:第三章习题1分别画出具有4、5、6个顶点的所有树(同构的只算一个)。2证明:每个非平凡树是偶图。3设G是x
4、x且(G)k,证明:Gxx至少有k个度为1的顶点。4令G是一个有p个顶点,k个支的森林,证明:G有p-k条边。5设T是一个k+1个顶点的树。若图G的最小度(G)k,则G有一个同构于T的子图。6xxT有n2个度为2的顶点,n3个度为3的顶点,nk个度为k的顶点,则T有多少个度为1的顶点?7.设G是一个连通图。G的子图G1是G的某个生成树的子图,当且仅当G1没有回路。8证明:连通图的任一条边必是它的某个生成树的一条边。9设G是一个边带权连通图,G的每条边均在G的某个回路上。若G的边e的权大于G的任一其他边的权,则e不在G的任一最小生成树中。10.设G=(V,E,w)是一个边带权连通图,对任意xE,
5、w(x)0。G的一个生成树T是G的最小生成树,当且仅当时G的任一与T的距离为1的生成树T满足条件:在T中而不在T中的边e的权w(e)不大于在T中而不在T中的边e的权w(e)。11.某镇有1000人,每天他们中的每个人把昨天听到的消息告诉他认识的人。已知任何消息,只要镇上有人知道,都会经这种方式逐渐地为全镇上所有人知道。可选出90个居民代表使得只要同时向他们传达某一消息,经10天就会为全镇居民知道。12.P个顶点的图中,最多有多少个割点?13证明:恰有两个顶点不是割点的连通图是一条路。有一座桥的三次图中至少有10个顶点。15设v是图G的一个割点,证明v不是G的补图Gc的割点。16设v是图G的一个
6、顶点。v是G的割点当且仅当有邻接v的两个不同的顶点u和w,使得v在u与w间的每一条路上。17.割点的连通图是否一定不是欧拉图?是否一定不是哈密顿图?有桥的连通图是否一定不欧拉图和哈密顿图。18.L是连通图G的一个回路,x和y是L上的两条边。G有个割集S使得x与y恰好是L与S的公共边。第四章习题1设G是一个有p个顶点的图,(G)(p+k)-1)/2,试证:G是k-连通的。2若(p,q)图G是k-边连通的,试证:qkp/2。3设G是k-边连通的,k0,E是G的k条边的集合。G-E的支数小于或等于2。4构造一个(p,q)图G使得(G)=p/2-1,(G)0。构造一个k-连通图G,以及G的k个顶点之集
7、V,使得G-V的支数大于2。6G是一个三次正则图,试证:(G)=(G)。7设r2,G是r正则图。(G)r/2。8构造一个图G,使得(G)=3,(G)=4,(G)=5。图G是2-边连通的当且仅当任两个不同顶点间至少有两条边不重路。10设G=(V,E)是2-边连通图,X和Y是V的子集,|X|2,|Y|2且XY=。在G中加入两个新的顶点s和t,s与X的每个顶点之间联成一条边,t与Y的每个顶点间加一条边,这样得到的图记为G。G是2-连通的。11.若G是顶点数p11的平面图,试证Gc不是平面图。12设Sx1,x2,x3,xn是平面上n个顶点的集合,n3,其中任两顶点的距离至少是1。Sxx至多有3n-6对
8、顶点,其距离为1。不存在7条棱的凸多面体。14.图G的最短回路的长度称为G的围长;若G中无回路,则定义G的围长为无穷大。()证明:围长为r的平面连通图G中有qr(p-2)/(r-2),r3()利用()证明Petersen图(见图3.6.4)不是平面图。15.设G是一个没有三角形的平面图。应用欧拉公式证明G中有一个顶点v使得degv3。*16设G是一个平面图。G同构于G当且仅当G是连通的。17证明:若G是自对偶的,则q=2p-2.18.设G是一个没有三角形的图。应用教学归纲法证明G是4可着色的(事实上,可以证明G是3可着色的)。19.设G是一个有p个顶点的d-正则图,证明:k(G)p/(p-d)
9、。20.试用5-色定理的证明方法来证明4色定理,在哪一点证明会失败呢?2221.设G是一个(p,q)图,证明:k(G)p/(p-2p)。22.证明:若G的任两个奇数长的回路都有一个公共顶点,则k(G)5。23.证明:每个xx平面图都是4-可着色的。24.设G是一个xxxx图,证明:k(G)=3。25.若r是奇数且G是r-正则图,证明:(G)=r+1。26.若G是彼德森图,证明:(G)=4。第五章习题1.给出有向图的子图、生成子图、导出子图的定义。2.画出具有三个顶点的所有互不同构的有向图的图解。3.具有p个顶点的完全有向图中有多少条弧?4.设D是一个有p个顶点q条弧的有向图。若D是连通的,证明
10、p-1qp(p-1)。5.设D是一个有p个顶点q条弧的强连通的有向图,则q至少是多大?6.在有向图中,含有所有顶点和所有弧的有向闭迹称为有向欧拉闭迹。一个有向图若含有有向欧闰闭迹,则称此有向图为有向欧拉图。有向图D=(V,A)是有向欧拉图当且仅当D是连通的且对任意的vV,总有id(v)=od(v)。7.证明:有向图D是单向连通的当且仅当D有一条生成通道。8.设A是一个nnxx矩阵,试证:(2)(IA)=(IA)(IA)=IAA其中I是nn单位矩阵。其次,证明:对任意的正整数r,有(IA)(r)=IAA(2)A(r)9.设B是有向图D=(V,A)的邻接矩阵,|V|=p。试证D的可达矩阵R为R=(
11、IB)(p)10.xxD的图解如图一所示(1)写出D的邻接矩阵及可达矩阵。(2)写出Dxx。v4v1v4v1D:v5V3v2v3v2图一图二11.设D为图二中的xx,试求v2到其余每个顶点的长4的所有通道的条数。12.已知有向图D的邻接矩阵B,如何从B求D的可达矩阵R?13.设T是一个正则m元有序树,它有n0个xx,T有多少条弧?14令T是一个正则m元树,它有i个内顶点(出度为m)。若E为所有内顶点深度之和,i为所有叶顶点深度之和,证明:I=(m-1)I+mi。15.设T是一个有n0个叶子的二元树,出度为2的顶点为n2,试证:n0=n2+1。16.具有三个顶点的有序树共有多少个?具有三个顶点的有根树有多个?注意,同构的只算一个。17.一个有序树称为一个2-3树,若每个内顶点有2个或3个儿子,并且从根顶点到每个叶子的路长均相等。若T是一个高为h的2-3树,则(1)T的顶点数p满足2h+1-1p3h+1-1。hh(2)T的xx数在2与3之间。18T是一个正则二元树,它有i个内顶点(出度为2)。若E为所有内顶点深度之和,I为所叶顶点的深度之和,证明:I=E+2i。
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