平面向量与三角形三心.doc

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向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇

一、四心的概念介绍

（1）重心——中线的交点：

重心将中线长度分成2：

1；

（2）垂心——高线的交点：

高线与对应边垂直；

（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：

角平分线上的任意点到角两边的距离相等；

（4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：

外心到三角形各顶点的距离相等。

二、四心与向量的结合

（1）是的重心.

证法1：

设

是的重心.

证法2：

如图

三点共线，且分

为2：

1

是的重心

（2）为的垂心.

证明：

如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC，D、E是垂足.

同理，

为的垂心

（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心

为的内心.

证明：

分别为方向上的单位向量，

平分,

），令

（）

化简得

（4）为的外心。

典型例题分析

[例题]已知点G是内任意一点,点M是所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过的_______心.（填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”）.

[提出问题]

（1）若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.

（2）若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G可能通过的__________.

（3）若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.

（4）若存在常数,满足,则点G可能通过的__________.

[思路分析]以上四个问题的解决要求不同,除了熟悉三角形的“四心”的性质,同时更要熟悉平面向量的性质,对于平面向量与三角函数的结合也要相当熟悉.

[解答过程]

（1）记,则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是角平分线上的点,故应填内心.

（2）简单的变形后发现点G是BC边中垂线上的点,故应填外心.

（3）记,

则.由平面向量的平行四边形或三角形法则知,点G是BC边的中线上的点,故应填重心.

（4）分析后发现,本题学生难以找到解决问题的突破口,主要在于平面向量的数量积的充分利用.由,

得,

（关键点）

于是.

从而,点G是高线上的点,故应填垂心.

[点评]以上四个问题处理的方法各不相同,注意到平面向量及三角形的“四心”的性质在解答问题时的作用.特别注意第四问两边同乘以某个表达式的技巧.

总结：

（1）是的重心.

（2）为的垂心.

（3）设,,是三角形的三条边长，O是ABC的内心

为的内心.

（4）为的外心。

或者

若点为内任意一点，若点满足:

1．;

2.两点分别是的边上的中点,且

;

3.;

4..

结合运用：

例1：

是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：

如图所示，分别为边的中点.

//

点的轨迹一定通过的重心，即选.

例2：

是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（B）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：

分别为方向上的单位向量，

平分,

点的轨迹一定通过的内心，即选.

例3：

是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

分析：

如图所示AD垂直BC，BE垂直AC，D、E是垂足.

=

=

=+=0

点的轨迹一定通过的垂心，即选.

练习：

1．已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：

，则的值为（）

A．2B．C．3D．6

2．若的外接圆的圆心为O，半径为1，，则（）

A．B．0C．1D．

3．点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（）

A．0B．C．D．

4．的外接圆的圆心为O，若，则是的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

5．是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若

，则是的（）

A．外心B．内心C．重心D．垂心

6．的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，

则实数m=

7．已知非零向量与满足（+）·=0且·=,则△ABC为（）

A．三边均不相等的三角形B．直角三角形

C．等腰非等边三角形D．等边三角形

8．已知三个顶点，若，则为（）

A．等腰三角形B．等腰直角三角形

C．直角三角形D．既非等腰又非直角三角形

练习答案：

C、D、C、D、D、1、D、C

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