幂函数知识点总结及练习题.doc

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幂函数

（1）幂函数的定义：

一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．

（2）幂函数的图象

（3）幂函数的性质

①图象分布：

幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

②过定点：

所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

③单调性：

如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

④奇偶性：

当为奇数时，幂函数为奇函数，当为偶数时，幂函数为偶函数．当（其中互质，和），若为奇数为奇数时，则是奇函数，若为奇数为偶数时，则是偶函数，若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．

⑤图象特征：

幂函数，当时，若，其图象在直线下方，若，其图象在直线上方，当时，若，其图象在直线上方，若，其图象在直线下方．

幂函数练习题

一、选择题：

1．下列函数中既是偶函数又是 （）

A． B． C． D．

2．函数在区间上的最大值是 （）

A． B． C． D．

3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （）

A． B． C． D．

4．函数的图象是 （）

A．B．C．D．

5．下列命题中正确的是 （）

A．当时函数的图象是一条直线

B．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点

C．若幂函数是奇函数，则是定义域上的增函数

D．幂函数的图象不可能出现在第四象限

6．函数和图象满足 （）

A．关于原点对称B．关于轴对称C．关于轴对称D．关于直线对称

7．函数，满足 （）

A．是奇函数又是减函数 B．是偶函数又是增函数

C．是奇函数又是增函数 D．是偶函数又是减函数

8．

如图1—9所示，幂函数在第一象限的图象，比较的大小（）

A．

B．

C．

D．

二、填空题：

.

1．函数的定义域是.

2．的解析式是 .

3．是偶函数，且在是减函数，则整数的值是.

4．函数的单调递减区间是.

三、解答题：

解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤

1．比较下列各组中两个值大小

（1）

2．求证：

幂函数在R上为奇函数且为增函数.

3．下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系.

（A）（B）（C）（D）（E）（F）

巩固训练

一、选择题

1．已知集合，则等于（）

A．B．C．D．2

2．下列函数中，值域是的函数是（）

A．B．C．D．

3．函数的定义域是（）

A．B．C．D．

4．二次函数的单调递减区间是（）

A．B．C．D．

5．函数的图象（）

A．关于直线对称B．关于轴对称C．关于原点对称D．关于轴对称

6．幂函数的图象一定经过点（）

A．B．C．D．

7．已知，则=（）

A．B．C．D．

8．若一元二次不等式的解集是，则的值是（）

A．不能确定B．4C．－4D．８

10．函数的反函数是（）

A．B．

C．D．

11．已知是定义在上的偶函数，且在上单调递减，则（）

A．B．

C．D．

12．已知点与关于直线对称，则这两点之间的距离是（）

A．不能确定B．C．D．

13．若不等式的解集是，则的取值范围是（）

A．B．C．或D．或

14．已知是奇函数，当时，其解析式，则当时，的解析式是（）

A．B．C．D．

二、填空题

15．设函数的定义域是，则的定义域是___________

18．已知幂函数的图象经过，则=___________

19．已知函数的图象经过点，又其反函数图象经过点，则的解析式为___________

20．已知奇函数在区间上是减函数，且最小值为，则在区间上的最大值是___________

21．满足条件的集合的个数是___________个.

22．函数的反函数的值域是___________

三、解答题

23．已知，若，求的取值范围。

24．已知函数。

⑴求函数的定义域；

⑵利用定义证明函数在定义域上是减函数。

26．已知偶函数在上是增函数，求不等式的解集。

幂函数练习题

一、选择题

1．下列函数中，其定义域和值域不同的函数是（　　）

A．　　　B．C． D.

2．以下关于函数当a＝0时的图象的说法正确的是（　）

A．一条直线B．一条射线C．除点（0,1）以外的一条直线D．以上皆错

3．已知幂函数f（x）的图象经过点（2，），则f（4）的值为（　　）

A．16B.C. D．2

4．下列结论中，正确的是（　　）

①幂函数的图象不可能在第四象限

②a＝0时，幂函数y＝的图象过点（1,1）和（0,0）

③幂函数y＝，当a≥0时是增函数

④幂函数y＝，当a<0时，在第一象限内，随x的增大而减小

A．①②B．③④C．②③D．①④

5．在函数y＝2x3，y＝x2，y＝x2＋x，y＝x0中，幂函数有（　　）

A．1个B．2个C．3个 D．4个

6．幂函数f（x）＝满足x＞1时f（x）＞1，则α满足条件（　　）

A．α＞1B．0＜α＜1C．α＞0D．α＞0且α≠1

7．幂函数y＝（m2＋m－5）xm2－m－的图象分布在第一、二象限，则实数m的值为（　　）

A．2或－3　　B．2C．－3 D．0

8．函数y＝xn在第一象限内的图象如下图所示，已知：

n取±2，±四个值，则相应于曲线C1、C2、C3、C4的n依次为（　　）

A．－2，－，，2 B．2，，－，－2

C．－，－2,2， D．2，，－2，－

9．若a<0，则0.5a、5a、5－a的大小关系是（　　）

A．5－a<5a<0.5a B．5a<0.5a<5－aC．0.5a<5－a<5a D．5a<5－a<0.5a

10．在同一坐标系内，函数y＝xa（a≠0）和y＝ax－的图象可能是（　）

二．填空题

1．函数f（x）＝（1－x）0＋的定义域为________．

2．已知幂函数y＝f（x）的图象经过点（2，），那么这个幂函数的解析式为________．

3．若，则实数a的取值范围是________．

三、解答题

1．已知函数f（x）＝（m2＋2m）·，m为何值时，f（x）是

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；

（3）二次函数；

（4）幂函数．

2.函数f（x）＝（m2－m－5）是幂函数，且当x∈（0，＋∞）时，f（x）是增函数，试确定m的值．

幂函数练习题答案

一．选择题DCCDBABBBC

二．填空题1.（－∞，1）2.　3.（3，＋∞）

三．解答题1.[解析]　

（1）若f（x）为正比例函数，则

⇒m＝1.

（2）若f（x）为反比例函数，则

⇒m＝－1.

（3）若f（x）为二次函数，则

⇒m＝.

（4）若f（x）为幂函数，则m2＋2m＝1，∴m＝－1±.

2.解：

根据幂函数的定义得：

m2－m－5＝1，

解得m＝3或m＝－2，

当m＝3时，f（x）＝x2在（0，＋∞）上是增函数；

当m＝－2时，f（x）＝x－3在（0，＋∞）上是减函数，不符合要求．故m＝3.