用点差法解圆锥曲线的中点弦问题.docx
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用点差法解圆锥曲线的中点弦问题
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题
与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。
解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：
联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。
若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为A（xi,yd、B（X2,y2），将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为"点差法”。
下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。
一、求以定点为中点的弦所在直线的方程
22
例1、过椭圆勒—1内一点M（2,1）引一条弦，使弦164
被M点平分，求这条弦所在直线的方程。
解：
设直线与椭圆的交点为A（X1，yJ、B（X2,y2）
M（2,1）为AB的中点*X24y,y22
又A、B两点在椭圆上，则X；4y,16，X22他216
两式相I
咸得
（x.
X22）
22
4（y1y2）0
于是（X1
X2）（X
X2）
4（y1
y2）（w祠0
y1y2
X
X2
4
1
X1X2
4（y1
y2）
4
22
即kAB舟，故所求直线的方程为y1壬（X2）,即
x2y40。
2
例2、已知双曲线X2十1，经过点M（1,1）能否作一条直线l，使l与双曲线交于A、B，且点M是线段AB的中点。
若存在这样的直线I，求出它的方程，若不存在，说明理由。
解：
设存在被点M平分的弦AB，且A",%）、B（x2,y2）
22
贝VX1X22y1y22匹1，x?
2生1
2，2
两式相减，得
X2）（X1
X2）
i—
2
（y1
直
线
A
B:
y■
1
y
1
2（x
2
1）
y1
x2
o
3
X
4
（4）242380
这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分的弦不存在，即不存在这样的直线l。
策略：
本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。
由此题可看到中点弦冋题中判断点的M位置非常重要。
（1）若中点M在
圆锥曲线内，则被点M平分的弦一般存在；
（2）若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能不存在。
二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程
22
例3、已知椭圆75盒1的一条弦的斜率为3,它
与直线x£的交点恰为这条弦的中点m，求
点M的坐标。
解：
设弦端点P（xi，yi）、Q（X2,y2），弓弦PQ的中点M（xo,yo），则XoI
XiX2
2Xo
i，
yi
y22yo
2
2
2
2
又
yi
Xii
y2
X2
75
25?
75
25
两式相减得25（yiy2）（yi
点m的坐标为（2,i
22
例4、已知椭圆7527i,求它的斜率为3的弦中点
7525
的轨迹方程。
解：
设弦端点PSi）、Qgyz），弦PQ的中点M（X,y），
X1
X2
2x，
y1y22y
2
2
2
2
又
y1
X11
y2
X21
75
25‘
75
25
两式相减得25（yiy2）（yiy?
）75（%X2）（xiX2）0
3x
y
即y（yiy?
）3x（xix?
）0，即-yi—空
1x1x2
点M在椭圆内
它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为
xy0（x口）
22
三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程
例5、已知中心在原点，一焦点为F（0,50）的椭圆被直线l:
y3x2截得的弦的中点的横坐标为
2，求椭圆的方程
、-22
解：
设椭圆的方程为笃詁1，则a2b250——①
ab
设弦端点P（xi，yi）、Q（x2,y2）,弦PQ的中点M（X。
y°）,贝V
y03x02
XiX22X01，yiy22y01
2222
又%Xi4y2X2i
孑孑，孑了
两式相减得b2（yiy2）（yi即b2（yiy2）a2（Xix?
）0
2
yy2a
Xx2b2
联立①②解得a275
y2）a2（xiX2）（xiX2）0
2
咅3……②
b
b225
22
乙X1
7525
四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题
所求椭圆的方程是
、亠22
例6、已知椭圆x_乂43
使得对于直线y4xm，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。
解：
设Pi（x1,y1），Pa（x2,y2）为椭圆上关于直线y4x
对称两点，P（x,y）为弦PF的中点，则3Xi24y,
22
3x24y2i2
两式相减得，
即3（x4x2）（x4x2）
例6、已知椭圆X-1，试确定的m取值范围，
3（Xi2X22）4（yi2y22）0
12,
XiX22x，yi
4（yiy2）（yi祠0
yiy21
x-ix24
y22y,
y3x这就是弦PR中点p轨迹方程。
它与直线y4xm的交点必须在椭圆内联立y4X，得X：
则必须满足y23
y4xmy3m
即（3m）2
34m2，解得
41
2,13
13
213
13
例7、已知抛物线C：
y（x3）2和直线l：
ykx（k0）为
使抛物线上存在关于l对称的两点，求k的取值范围。
解：
设抛物线C上存在不同的两点P1（x1,y1）,P2（x2,y2）关于直线I对称，线段PR的中点为M（x0,yo），则
以yo3k2，因为M（xo,yo）在抛物线y（x4）2开口内，
42747
所以yo（xo弓）2，故yo弓k1o，所以k1。
即k的取
47427
值范围是1。
策略：
本题需要根据弦中点M（xo，yo）位置求k的取值范围，如果不考虑M（xo，y。
）位置，可能得出错误的结果。
请务必小心。
五、注意的问题
利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题、对称性问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶数学情感的一个很好的材料，利于培养学生的解题能力和解题兴趣。
但不能忽略弦中点的轨迹应在曲线内的条件。
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