用点差法解圆锥曲线的中点弦问题.docx

1、用点差法解圆锥曲线的中点弦问题用“点差法”解圆锥曲线的中 点弦问题用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称 之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点 弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方 程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系 数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。 若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为 A(xi,yd、B(X2,y2)，将这两点代入圆锥曲线的方程并 对所得两式作差，得到一个与弦AB的中点和斜率 有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种 代点作差的方法为点差法”。下面就如何用点 差法计算举几个例子供大家参考。一、求以定点为

2、中点的弦所在直线的方程2 2例1、过椭圆勒1内一点M (2,1)引一条弦，使弦 16 4被M点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为A(X1，yJ、B(X2, y2)M (2,1)为 AB 的中点 * X2 4 y, y2 2又A、B两点在椭圆上，则X； 4y, 16，X22他216两式相I咸得(x.X22)2 24(y1 y2 ) 0于是(X1X2)(XX2)4( y1y2)(w 祠0y1 y2XX241X1 X24( y1y2)42 2即kAB舟，故所求直线的方程为y 1壬(X 2),即x 2y 4 0。2例2、已知双曲线X2十1，经过点M (1,1)能否作一 条直线l，

3、使l与双曲线交于A、B，且点M是 线段AB的中点。若存在这样的直线I，求出 它的方程，若不存在，说明理由。解：设存在被点M平分的弦AB，且A,%)、B(x2,y2)2 2贝V X1 X2 2 y1 y2 2 匹 1， x?2生 12 ， 2两式相减，得X2)(X1X2)i 2(y1直线AB:y 1y12(x21)y1x2o3X4 (4)2 4 2 3 8 0这说明直线AB与双曲线不相交，故被点M平分 的弦不存在，即不存在这样的直线l。策略：本题如果忽视对判别式的考察， 将得出错 误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦冋 题中判断点的M位置非常重要。(1)若中点M在圆锥曲线内，则被点M平分的弦

4、一般存在；(2) 若中点M在圆锥曲线外，则被点M平分的弦可能 不存在。二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程2 2例3、已知椭圆75盒1的一条弦的斜率为3,它与直线x 的交点恰为这条弦的中点m，求点M的坐标。解：设弦端点 P(xi，yi)、 Q(X2,y2)，弓弦 PQ 的中点 M (xo, yo)， 则Xo IXi X22Xoi，yiy2 2yo2222又yiXi iy2X27525 ?7525两式相减得25(yi y2)(yi点m的坐标为(2, i2 2例4、已知椭圆75 27 i,求它的斜率为3的弦中点75 25的轨迹方程。解：设弦端点PSi)、Qgyz)，弦PQ的中点M(X,y)，X1X22

5、x，y1 y2 2y2222又y1X1 1y2X2 17525 7525两式相减得 25(yi y2)(yi y?) 75(% X2)(xi X2) 03xy即 y(yi y?) 3x(xi x?) 0，即-yi空1 x1 x2点M在椭圆内它的斜率为 3的弦中点的轨迹方程为x y 0( x 口)2 2三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例5、已知中心在原点，一焦点为F(0, 50)的椭圆 被直线l:y 3x 2截得的弦的中点的横坐标为2，求椭圆的方程、 -2 2解：设椭圆的方程为笃詁1，则a2 b250a b设弦端点P(xi，yi)、Q(x2,y2),弦PQ的中点 M(X。, y), 贝Vy0

6、3x0 2Xi X2 2X0 1， yi y2 2y0 12 2 2 2又 % Xi 4 y2 X2 i孑孑 ，孑了两式相减得b2(yi y2)(yi 即 b2(yi y2)a2(Xi x?) 02y y2 aX x2 b2联立解得a2 75y2) a2(xi X2)(xi X2) 02咅3bb2 252 2乙X 175 25四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题所求椭圆的方程是、 亠2 2例6、已知椭圆x_ 乂 4 3使得对于直线y 4x m，椭圆上总有不同的两 点关于该直线对称。解：设Pi(x1,y1)， Pa(x2, y2)为椭圆上关于直线y 4x对称两点，P(x, y)为弦PF的中点

7、，则3Xi2 4y,2 23x2 4y2 i2两式相减得，即 3(x4 x2)( x4 x2)例6、已知椭圆X- 1，试确定的m取值范围，3(Xi2 X22) 4(yi2 y22) 012,Xi X2 2x， yi4(yi y2)(yi 祠0yi y2 1x-i x2 4y2 2y ,y 3x 这就是弦PR中点p轨迹方程。它与直线y 4x m的交点必须在椭圆内 联立y 4X，得X： 则必须满足y2 3y 4x m y 3m即(3m)23 4m2，解得4 12, 13132 1313例7、已知抛物线C：y (x 3)2和直线l：y kx(k 0)为使抛物线上存在关于l对称的两点，求k的取值范 围

8、。解：设抛物线C上存在不同的两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)关 于直线I对称，线段PR的中点为M (x0, yo)，则以yo 3k 2，因为M(xo,yo)在抛物线y (x 4)2开口内，4 2 7 4 7所以yo (xo弓)2，故yo弓k 1 o，所以k 1。即k的取4 7 4 2 7值范围是1 。策略：本题需要根据弦中点M(xo，yo)位置求k的取值 范围，如果不考虑M(xo，y。)位置，可能得出错误的 结果。请务必小心。五、注意的问题利用点差法求解圆锥曲线中点弦问题、 对称性 问题，方法简捷明快，结构精巧，很好地体现了 数学美，而且应用特征明显，是训练思维、熏陶 数学情感的一个很好的材料， 利于培养学生的解 题能力和解题兴趣。 但不能忽略弦中点的轨迹应 在曲线内的条件。