定积分应用题附答案.doc

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《定积分的应用》复习题

一．填空：

1．曲线所围成的平面图形的面积为A==b-a______

2.________

二．计算题：

1．求由抛物线y2=2x与直线2x+y–2=0所围成的图形的面积。

解：

（1）确定积分变量为y，解方程组

得

即抛物线与直线的交点为（，1）和（2,-2）.故所求图形在直线y=1和y=-2之间，即积分区间为［－2，1］。

（2）在区间［－2，1］上，任取一小区间为［y,y+dy］,对应的窄条面积近似于高为［（１－y）-y2］,底为dy的矩形面积，从而得到面积元素

dA=[（１－y）-y2]dy

（3）所求图形面积A=[（1-y）-y2]dy=[y-y2–y]=

2．求抛物线y=-x2+4x-3及其在点（0，-3）和（3，0）处的切线所围成的图形的面积。

解：

由y=-x2+4x–3得。

抛物线在点（0，-3）处的切线方程为y=4x–3;在点（3，0）处的切线方程为y=-2x+6;两切线的交点坐标为（，3）。

故面积A=

3．求由摆线x=a（t–sint）,y=a（1-cost）的一拱（）与横轴所围成的图形的面积。

解：

4．求由下列曲线所围成的图形的公共部分的面积：

r=3cos及r=1+cos

解：

两曲线的交点由

故A=

=

5．计算由摆线x=a（t–sint）,y=a（1-cost）的一拱（），直线y=0所围成的图形分别绕X轴、Y轴旋转而成的旋转体的体积。

解：

=

6．求由x2+y2=2和y=x2所围成的图形绕x轴旋转而成的旋转体的体积。

解：

（1）取积分变量为x,为求积分区间，解方程组：

{，

得圆与抛物线的两个交点为{，{，所以积分区间为[-1，1]。

（2）在区间[-1，1]上任取一小区间[x,x+dx]，与它对应的薄片体积近似于

[（2-x2）-x4]dx,从而得到体积元素

dV=[（2-x2）-x4]dx=（2-x2-x4）dx.

（3）故=（2-x2-x4）dx=

7．求圆盘绕Y轴旋转而成的旋转体的体积。

解设旋转体积为V，则

8．设有抛物线C：

y=a–bx2（a>0,b>0），试确定常数a,b的值，使得C与直线y=x+1相切，且C与X轴所围图形绕Y轴旋转所得旋转体的体积达到最大。

解：

设切点坐标为（x,y）,由于抛物线与y=x+1相切，

故有K=-2bx=1,得

由解得，即：

由

令得

9．设星形线方程为（a>0），求：

（1）由星形线所围图形的面积

（2）星形线的长度。

解：

（1）由对称性得

A

（2）L=

=

=

10．计算曲线自原点到与具有铅直的切线最近点的弧长。

解：

曲线上具有铅直切线且与原点距离最近的点所对应的参数为，原点对应的参数t=1。

故

s=

11．设S1为曲线y=x2、直线y=t2（t为参数）及Y轴所围图形的面积；S2为曲线y=x2、直线y=t2及x=1所围图形的面积。

问t为何值时，S=S1+S2取得最大值、最小值。

解：

令

于是

故Smax=S

（1）=,Smin=

三．证明题：

1.证明：

曲线y=sinx的一个周期的弧长等于椭圆2x2+y2=2的周长。

证明：

y=sinx的一个周期的弧长

L1=

椭圆2x2+y2=2即：

化为参数方程为

其弧长为L2=

故L1=L2