基本不等式及其应用教案(精心整理).doc

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学生教案

基本不等式及其应用

一．知识结构（博闻强记，是一项很强的能力）

1.，当且仅当____________时，等号成立．

其中和分别称为正数的______________和_______________．

2.基本不等式的重要变形：

__________________________；

__________________________．

经典例题：

下列不等式在a、b>0时一定成立的是________．

（1）≤≤≤

（2）≤≤≤

（3）≤≤≤（4）≤≤≤

3．均值定理

已知，则：

（1）若（和为定值），则当时，积取得最____值；

（2）若（积为定值），则当时，和取得最____值．

利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

二．题型选编（熟能生巧,在有限时间内提高解题效率的最佳方法）

题组一：

利用不等式求最值

例1：

求下列各题的最值：

（1），求的最小值；

（2），求的最小值；

（3），求的最大值；

（4）已知,且,求的最小值。

变式练习：

1．设，且，则的最小值是

A．6B．C．D．

2．下列不等式中恒成立的是

A．B．C．D．

3．下列结论正确的是

A．当 B．

C．的最小值为2 D．当无最大值

4．若是正实数，则的最小值为

A．6B．9C．12D．15

5．若正数满足，则的取值范围是

A．　　Ｂ．　　C．　　　D．

6．设，且，则x的取值范围是

A．B．C．或D．或

7．下列函数中最小值是4的是

A．B．

C．D．

8．若关于x的方程有解，则实数a的取值范围是

A．B．C．D．

9．已知，则函数的最大值。

10．已知，，则

A．B．C．D．

11．已知函数的值域为R，则m的取值范围是（）

A.B.C.D.

12.设，若，，则的最大值为。

13．若a＞b＞1，P＝，Q＝，R＝），则P、Q、R的大小关系是；

题组二：

利用基本不等式解应用题

例2：

某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池,池的深度一定（平面图如图所示）,如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米,池底建造单价为80元/平方米,水池所有墙的厚度忽略不计.

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；

（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价.

变式练习：

1．某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆客车营运的总利润y（单位：

10万元）与营运年数x的函数关系为则每辆客车营运多少年，其运营的年平均利润最大　　　　　　

2．一批货物随17列货车从A市以vkm/h的速度匀速直达B市。

已知两地铁路线长400km，为了安全，两列货车的间距不得小于（货车长度忽略不计），那么这批货物全部运到B市最快需要多少小时？

3．某商场的某种商品的年进货量为1万件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需

运费100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货时的一半来计算，每件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为　　　　　

4．某单位建造一间地面面积为12m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位置的限制，房

子侧面的长度x不得超过a米，房屋正面的造价为400元/m2,房屋侧面的造价为150元/m2，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，如果墙高为3m，且不计房屋背面的费用．

（1）把房屋总造价表示成的函数，并写出该函数的定义域；

（2）当侧面的长度为多少时，总造价最底？

最低总造价是多少？

5．某校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图所示）。

问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？

并求出占地面积的最小值。

6．经过长期观测得到：

在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量（千辆/小时）与汽车的平均速度（千米/小时）之间的函数关系为：

。

（1）在该时段内，当汽车的平均速度为多少时，车流量最大？

最大车流量为多少？

（精确到千辆/小时）

（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车站的平均速度应在什么范围内？

7．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花园，要求B在上，D在上，且对角线过C点，已知AB=3米，AD=2米，

（1）要使矩形的面积大于32平方米，则的长应在什么范围内?

（2）当的长度是多少时，矩形的面积最小?

并求最小面积；

（3）若的长度不少于6米，则当的长度是多少时，矩形的面积最小？

并求出最小面积．

8．某单位决定投资3200元建一仓库（长方体状），高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：

（1）仓库面积的最大允许值是多少？

（2）为使达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？

8．解：

设铁栅长为米，一堵砖墙长为米，则顶部面积为

依题设，，由基本不等式得

，

，即，故，从而

所以的最大允许值是100平方米，

取得此最大值的条件是且，求得，即铁栅的长是15米。

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