圆锥曲线综合题高考常见题型与分析(学生).docx
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圆锥曲线综合题高考常见题型与分析
本部分重点考查直线和圆锥曲线的综合性问题,从近几年的高考试题来看,除了在解答题中必然有直线与圆锥曲线的联立外,在选择题或填空题中出现的圆锥曲线问题也经常与直线结合起来.本部分的主要特点是运算量大、思维难度较高,但有时灵活地借助几何性质来分析问题可能会收到事半功倍的效果.
（1）关于圆锥曲线的方程求解,一般是由定义法求曲线的方程或由已知条件直接求曲线方程,有时也会以求轨迹的形式出现,难度中等.
（2）除了方程的求解,还有如下考查内容,圆锥曲线的弦长问题、最值问题、定点定值问题、探索性问题等,考查的知识点较多,能力要求高,尤其在考查学生的运算求解变形能力上,此类问题体现的淋漓尽致,是高考试题中区分度较高的题目.
（3）预测2015年的高考,对本节知识的考查仍以解答题为主,选择的载体一般是椭圆,主要围绕着直线与椭圆的位置关系进行命题,有时会与向量的共线、模和内积等联系起来;对于方程的求解,不要忽视轨迹的求解形式,后面的设问将是对最值、定值、定点、参数范围的考查,探索类和存在性问题考查的概率也很高.
一、直线和圆锥曲线经典结论
椭圆
1.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.
2.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.
3.若在椭圆上，则过的椭圆的切线方程是.
4.若在椭圆外，则过Po作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
5.椭圆（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点角形的面积为.
6.椭圆（a＞b＞0）的焦半径公式：
（,）.
7.AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
8.若在椭圆内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
9.若在椭圆内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
双曲线
1.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.
2.以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：
P在右支；外切：
P在左支）
3.若在双曲线（a＞0,b＞0）上，则过的双曲线的切线方程是.
4.若在双曲线（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程是.
5.双曲线（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点，则双曲线的焦点角形的面积为.
6.双曲线（a＞0,b＞o）的焦半径公式：
（,
当在右支上时，,.
当在左支上时，,
7.AB是双曲线（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则，即。
8.若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是.
9.若在双曲线（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是.
抛物线
1.以焦点弦AB为直径的圆与准线相切；
2.;
3.;
4.;
5.;
6.;
7.A、O、三点共线；
8.B、O、三点共线；
9.；
10.（定值）；
11.；；
12.；
13.；
14.;
15.;
16.过抛物线上一点M（x0,y0）的切线方程为
注意：
过抛物线上一点M（x0,y0）的切线的方程为：
过抛物线上一点M（x0,y0）的切线的方程为：
过抛物线上一点M（x0,y0）的切线的方程为：
17.过抛物线焦点弦的两端点的抛物线的切线的交点在准线上；过抛物线准线上任一点作抛物线的切线，则过两切点的弦必过焦点
二、2007—2014广东高考圆锥曲线综合题回顾
年份
载体
求解
2014
椭圆
（1）求椭圆标准方程；
（2）求点的轨迹方程
2013
抛物线
（1）求抛物线方程；
（2）求直线方程（3）求最值
2012
椭圆
（1）求椭圆方程；
（2）存在性问题求最值
2011
圆
（1）求点的轨迹方程；
（2）求最值
2010
双曲线
（1）求点的轨迹方程；
（2）求值
2009
抛物线
（1）求点的轨迹方程；
（2）求最值
2008
椭圆
（1）求椭圆方程和抛物线方程；
（2）存在性问题
2007
椭圆
（1）求圆方程；
（2）存在性问题求最值
三、圆锥曲线常考题型与解题策略
题型1：
求轨迹方程
解题策略：
（1）熟练各种圆锥曲线的有关定义、标准方程、性质；
（2）认真审题；
（3）列式求解；
（4）查漏补缺下结论。
特别注意：
若所求的方程后面要用到，必须验算！
例1.（2014广东）已知椭圆的一个焦点为，离心率为。
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程.
变式练习：
1.（2014辽宁）圆的切线与x轴正半轴，y轴正半轴围成一个三角形，当该三角形面积最小时，切点为P（如图），双曲线过点P且离心率为.
（1）求的方程；
（2）椭圆过点P且与有相同的焦点，直线过的右焦点且与交于A，B两点，若以线段AB为直径的圆过点P，求的方程
2.[2014·陕西]如图，曲线C由上半椭圆C1：
＋＝1（a>b>0，y≥0）和部分抛物线C2：
y＝－x2＋1（y≤0）连接而成，C1与C2的公共点为A，B，其中C1的离心率为.
（1）求a，b的值；
（2）过点B的直线l与C1，C2分别交于点P，Q（均异于点A，B），若AP⊥AQ，求直线l的方程．
题型2：
与圆锥曲线相关的最值问题
解题策略：
（1）常用方法有配方法、判别式法、导数法、函数单调性等;
（2）参数方程法（三角代换法）,把问题转化为三角函数问题，利用三角函数的有界性;
（3）不等式法,通过基本不等式求最值;
（4）数形结合法.
解决最值问题一定要分清哪些量为变量,哪些量为常量;解决此类问题要综合应用多种知识,注意问题切入点的突破.
例2.[2014·四川]已知椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x＝－3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于点P，Q.
①证明：
OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）；
②当最小时，求点T的坐标．
解：
（1）由已知可得解得a2＝6，b2＝2，
所以椭圆C的标准方程是＋＝1.
（2）①证法一：
由
（1）可得，F的坐标是（－2，0），设T点的坐标为（－3，m），
则直线TF的斜率kTF＝＝－m.
当m≠0时，直线PQ的斜率kPQ＝.直线PQ的方程是x＝my－2.
当m＝0时，直线PQ的方程是x＝－2，也符合x＝my－2的形式．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），将直线PQ的方程与椭圆C的方程联立，得
得（m2＋3）y2－4my－2＝0，
其判别式Δ＝16m2＋8（m2＋3）>0.所以
y1＋y2＝，y1y2＝，
x1＋x2＝m（y1＋y2）－4＝.
设M为PQ的中点，则M点的坐标为.所以直线OM的斜率kOM＝－，
又直线OT的斜率kOT＝－，所以点M在直线OT上，因此OT平分线段PQ.
证法二：
设T点的坐标为（－3，m），P（x1，y1），Q（x2，y2），PQ中点M（x0，y0），则
若m=0，则PQ中点为F，满足OT平分线段PQ；
若，则
由，得O,M,T花线
综上：
OT平分线段PQ。
②方一：
由①可得，|TF|＝，
|PQ|＝＝
＝＝.
所以＝＝
≥＝.
当且仅当m2＋1＝，即m＝±1时，等号成立，此时取得最小值．
故当最小时，T点的坐标是（－3，1）或（－3，－1）．
方二：
由
（1），得是椭圆的左准线，离心，由①及椭圆第二定义，得
，
余略。
变式练习：
3.[2014·浙江卷]如图，设椭圆C：
＋＝1（a>b>0），动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限．
（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；
（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：
点P到直线l1的距离的最大值为a－b.
4.[2014·山东卷]已知抛物线C：
y2＝2px（p＞0）的焦点为F，A为C上异于原点的任意一点，过点A的直线l交C于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|＝|FD|.当点A的横坐标为3时，△ADF为正三角形．
（1）求C的方程．
（2）若直线l1∥l，且l1和C有且只有一个公共点E.
①证明直线AE过定点，并求出定点坐标．
②△ABE的面积是否存在最小值？
若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．
题型3：
与圆锥曲线相关的存在性问题
求解策略：
（1）思路:
先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在;若结论不正确则不存在.
（2）策略:
①当条件和结论不唯一时要分类讨论;
②当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件;
③当条件和结论都不知,按常规法解题很难时,可先由特殊情况探究,再推广到一般情况.
例3.（2014深圳一模）如图，直线，抛物线，已知点在抛物线上，且抛物线上的点到直线的距离的最小值为．
（1）求直线及抛物线的方程；
（2）过点的任一直线（不经过点）与抛物线交于、两点，直线与直线相交于点，记直线，，的斜率分别为，，．问：
是否存在实数，使得？
若存在，试求出的值；若不存在，请说明理由．
解：
（1）（法一）点在抛物线上，．
设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，
由得，
，
由，得，则直线方程为．
两直线、间的距离即为抛物线上的点到直线的最短距离，
有，解得或（舍去）．
直线的方程为，抛物线的方程为．
（法二）点在抛物线上，
，抛物线的方程为．
设为抛物线上的任意一点，点到直线的距离为，
根据图象，有，
，
，的最小值为，由，解得．
因此，直线的方程为，抛物线的方程为．
（2）直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
由得，
设点、的坐标分别为、，则，，
，，
由得，，
，．
因此，存在实数，使得成立，且．
点评:
（1）常常根据题意建立含有参数的等式或不等式,通过解等式或不等式求参数的值或范围.
（2）建立关于某变量的一元二次方程,利用根与系数的关系或利用判别式求参数或参数的范围.
变式练习：
5.已知动圆P与圆F1:
（x+3）2+y2=81相切,且与圆F2:
（x-3）2+y2=1相内切,记圆心P的轨迹为曲线C;设Q为曲线C上的一个不在x轴上的动点,O为坐标原点,过点F2作OQ的平行线交曲线C于两个不同的点M,N.
（1）求曲线C的方程;
（2）试探究|MN|和|OQ|2的比值能否为一个常数?
若能,求出这个常数;若不能,请说明理由;
（3）记△QF2M的面积为S1,△OF2N的面积为S2,令S=S1+S2,求S的最大值.
6.在平面直角坐标系xOy中,经过点（0,2）且斜率为k的直线l与椭圆x22+y2=1有两个不同的交点P和Q.
（1）求k的取值范围;
（2）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为A,B,是否存在常数k,使得向量OP+OQ与AB共线?
如果存在,求出k的值;如果不存在,请说明理由.
7.[2014·邯郸期末]已知点F1（－1，0），F2（1，0）分别是椭圆C：
＋＝1（a>b>0）的左、右焦点，点P在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）设直线l1：
y＝kx＋m，l2：
y＝kx－m，若l1，l2均与椭圆C相切，试探究在x轴上
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