圆锥曲线之定点定值问题(教师).doc
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圆锥曲线之定点定值问题
一、定点问题
例.已知椭圆:
的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.
⑴求椭圆C的方程;
⑵设,、是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,求直线的斜率的取值范围;
⑶在⑵的条件下,证明直线与轴相交于定点.
【练习1】在直角坐标系中,点到点,的距离之和是,点的轨迹是与轴的负半轴交于点,不过点的直线与轨迹交于不同的两点和.
⑴求轨迹的方程;
⑵当时,求与的关系,并证明直线过定点.
【练习2】在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左、右顶点为A、B,右焦点为F。
设过点T()的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、,其中m>0,。
(1)设动点P满足,求点P的轨迹;
(2)设,求点T的坐标;
(3)设,求证:
直线MN必过x轴上的一定点(其坐标与m无关)。
【练习3】已知椭圆C中心在原点,焦点在轴上,焦距为,短轴长为.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)若直线:
与椭圆交于不同的两点(不是椭圆的左、右顶点),且以为直径的圆经过椭圆的右顶点.求证:
直线过定点,并求出定点的坐标.
【练习4】已知椭圆的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设,,是椭圆上关于轴对称的任意两个不同的点,连结交椭圆于另一点,证明直线与轴相交于定点;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,过点的直线与椭圆交于,两点,求的取值范围.
二、定值问题
例1.已知椭圆的中心在原点,焦点在轴的非负半轴上,点到短轴端点的距离是4,椭圆上的点到焦点距离的最大值是6.
(Ⅰ)求椭圆的标准方程和离心率;
(Ⅱ)若为焦点关于直线的对称点,动点满足,问是否存在一个定点,使到点的距离为定值?
若存在,求出点的坐标及此定值;若不存在,请说明理由.
例2.:
已知抛物线C的顶点在坐标原点,焦点在x轴上,P(2,0)为定点.
(Ⅰ)若点P为抛物线的焦点,求抛物线C的方程;
(Ⅱ)若动圆M过点P,且圆心M在抛物线C上运动,点A、B是圆M与轴的两交点,试推断是否存在一条抛物线C,使|AB|为定值?
若存在,求这个定值;若不存在,说明理由.
【练习1】已知是椭圆C的两个焦点,、为过的直线与椭圆的交点,且的周长为.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)判断是否为定值,若是求出这个值,若不是说明理由.
【练习3】、是经过椭圆右焦点的任一弦,若过椭圆中心O的弦,求证:
:
是定值
【练习4】如图,过抛物线上一定点P()(),作两条直线分别交抛物线于A(),B().当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时,求的值,并证明直线AB的斜率是非零常数.
【练习5】已知双曲线的离心率为,右准线方程为
(Ⅰ)求双曲线的方程;
(Ⅱ)设直线是圆上动点处的切线,与双曲线交于不同的两点,证明的大小为定值.
答案解析
【定点问题】
例1:
解:
⑴.
⑵由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为①
联立消去得:
,
由得,
又不合题意,
所以直线的斜率的取值范围是或.
⑶设点,则,直线的方程为,
令,得,将代入整理,得.②
由得①代入②整理,得,
所以直线与轴相交于定点.
【练习1】解:
⑴.
⑵将,代入曲线的方程,整理得,因为直线与曲线交于不同的两点和,所以①
设,,则,②
且,显然,曲线与轴的负半轴交于点,所以,.由,得.
将②、③代入上式,整理得.所以,即或.经检验,都符合条件①,当时,直线的方程为.显然,此时直线经过定点点.即直线经过点,与题意不符.当时,直线的方程为.显然,此时直线经过定点点,且不过点.综上,与的关系是:
,且直线经过定点点.
【练习2】解:
(1)。
(2)点T的坐标为。
(3)点T的坐标为
直线MTA方程为:
,即,
直线NTB方程为:
,即。
分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,
解得:
、。
(方法一)当时,直线MN方程为:
令,解得:
。
此时必过点D(1,0);
当时,直线MN方程为:
,与x轴交点为D(1,0)。
所以直线MN必过x轴上的一定点D(1,0)。
(方法二)若,则由及,得,
此时直线MN的方程为,过点D(1,0)。
若,则,直线MD的斜率,
直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。
因此,直线MN必过轴上的点(1,0)。
【练习3】解:
(Ⅰ).
(Ⅱ)由方程组消去,得
.
由题意△,整理得:
①
设,则,.
由已知,,且椭圆的右顶点为,
∴ .即,
也即,
整理得.解得或,均满足①
当时,直线的方程为,过定点,不符合题意舍去;
当时,直线的方程为,过定点,
故直线过定点,且定点的坐标为.
【练习4】解:
(Ⅰ).
(Ⅱ)由题意知直线的斜率存在,设直线的方程为.
由得.①
设点,,则.直线的方程.
令,得.将,代入,
整理,得.②
由①得,代入②
整理,得.所以直线与轴相交于定点.
(Ⅲ)当过点直线的斜率存在时,设直线的方程为,且
,在椭圆上.
由得.
易知.
所以,,.
则.
因为,所以.
所以.
当过点直线的斜率不存在时,其方程为.
解得,.
此时.
所以的取值范围是.
【定值问题】
例1:
解:
(Ⅰ):
离心率
(Ⅱ),设由得
化简得,即
故存在一个定点,使到点的距离为定值,其定值为
例2:
解:
(Ⅰ).
(Ⅱ)设圆心(),点A,B.因为圆过点P(2,0),
则可设圆M的方程为.令,
得.则,.
所以.,
设抛物线C的方程为,因为圆心M在抛物线C上,则.
所以.
由此可得,当时,为定值.故存在一条抛物线,使|AB|为定值4.
【练习1】解:
(Ⅰ)
(Ⅱ)设
(1)当直线斜率不存在时,有,,
(2)当直线斜率存在时,设直线方程为代入椭圆方程,并整理得:
所以(或求出的值)
所以
所以
【练习2】2/p
【练习3】解析:
对于本题,,分别为中心弦和焦点弦,可将其倾斜角退到0°,此时有,,(定值).下面再证明一般性.
设平行弦、的倾斜角为,则斜率,的方程为代入椭圆方程,又∵即得,
另一方面,直线方程为.同理可得由可知(定值)(注意时的情况)
(关于②式也可直接由焦点弦长公式得到.从特殊入手,求出定点(定值),再证明这个点(值)与变量无关。
)
【练习4】(I)所求距离为
(2)设直线PA的斜率为,直线PB的斜率为
由,
相减得,故
同理可得:
由PA,PB倾斜角互补知
即,所以,故
设直线AB的斜率为,由,,相减得
所以,
将代入得,所以是非零常数.
【练习5】【解法1】
(Ⅰ)双曲线的方程为.
(Ⅱ)点在圆上,
圆在点处的切线方程为,化简得.
由及得,
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,
∴,且,
设A、B两点的坐标分别为,则,
∵,且,
.
∴的大小为.
【解法2】(Ⅰ)同解法1.
(Ⅱ)点在圆上,
圆在点处的切线方程为,
化简得.由及得
①
②
∵切线与双曲线C交于不同的两点A、B,且,
∴,设A、B两点的坐标分别为,
则,
∴,∴的大小为.
(∵且,∴,从而当时,方程①和方程②的判别式均大于零).