八年级下册数学新观察5469学生版Word下载.docx

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18.菱形

（一）菱形的性质

预习归纳

1.有一组相等的平行四边形是菱形；

2.菱形的四条边都，菱形的互相，且每一条对角线；

3.菱形的面积等于两条乘积的一半.

基础题训练

知识点1菱形的性质1菱形具有平行匹边形不一定具有的性质是（）.A.对边平行B.对角相等

C.对角线互相平分D.对角线互相垂直

2若菱形ABCD的对角线交于O点，则其中等腰三角形的个数为（）A.1个B.2个C.3个D.4个3.（2017·

扬州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E为AD的中点，若OE=3，则菱形ABCD的周长为

4.如图，在菱形ABCD中，AC=4，∠BAD=120°

，则菱形ABCD的周长为（）.A.20B.18C.16D.1

5.如图，点E是菱形ABCD的对角线BD上一点，连AE，CE.则图中全等三角形共有（），A.1对B.2对C.3对D.4对

6.（2017·

青岛）如图，菱形ABCD中E，F分别是AB，BC边的中点.连EF，若EF=

，BD=4.则菱形ABCD的周长为（）.A.4B.4

C.4

D.28

7.（2017·

广安改）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E.CF⊥AD交AD的延长线于点F，求证：

DF=BE.

知识点2菱形的面积8.（2017·

.无锡改）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是，面积是

9.如图，菱形ABCD的边长为2cm，E是BC的中点，且AE⊥BC，则菱形ABCD的面积为cm2

10.如图，已知菱形的周长为40cm，两邻角度数之比为1：

2.

（1）求菱形的两条对角线的长；

（2）求菱形的面积

11.如图，菱形ABCD中，点E，F分别在AB，AD上，且AE=AF，求证：

CE=CF.

12.在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE⊥BC，垂足为点E，求OE

13.（2018中考模拟）如图在菱形ABCD中，AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F，垂足为点E，连接DF.且∠CDF=24°

.求∠DAB的度数为.

14.如图，菱形ABCD中.AB=a，∠ABC=60°

，点E，F分别在边CB，DC的延长线上，∠EAF=60°

.

（1）求证：

∠E=∠F

（2）求CE-CF的值

综合题训练

15.（2017·

.七一中学月考改]如图，在边长为2a的菱形ABCD中，∠DAB=60°

，点E是AD上不同于A，D两点的一动点，点F是CD上一动点，且AE+CF=2a.

（1）证明，不论点E，F怎样移动，△BEF总是等边三角形；

（2）求△BEF周长的最小值.

19.菱形

（二）菱形的判定预习归纳

1有一组邻边的平行四边形是菱形；

2.对角线的平行四边形是菱形；

3.四条边的四边形是菱形.

基础题训练知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1（2017·

青海改）如图，要使□ABCD成为菱形，则需添加的一个条件是（）A.AC=ADB.BA=BCC.∠ABC=90°

D.AC=BD

2.如图，已知△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC，DF∥AB，分别交AB，AC于E，F，

则四边形AEDF为

3.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.若AC=4，

则四边形OCED的周长为（）.A.4B.8C10D.12

4.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E，F为对角线AC上两点，且AE=CF，DF∥BE，AC平分∠BAD.求证：

四边形ABCD为菱形.

知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形5.如图，四边形ABCD中，AC⊥BD，则下列条件中能判定四边形ABCD为菱形的是（）.A.AB=BCB.AC，BD互相平分C.AC=BDD.AB∥CD.

6.□ABCD的对角线AC，BD交于点O，下列条件中，不能判定□ABCD是菱形的是（）

A.AB=ADB.AC⊥BDC.∠BAD=∠ADCD.CA平分∠BCD

7.如图，□ABCD的对角战AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，求证：

四边形AFCE是菱形

知识点3四条边相等的四边形是菱形8.依次连接一个矩形四边中点得到的图形是（）.A.平行四边形B.矩形C.菱形D.无法确定9.如图，在△ABC中，AB=BC，D，E，F分别为BC，AC，AB的中点，求证：

四边形BDEF是菱形

中档题训练

10（2017·

张家界改）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E，F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF.给出下列条件：

①BE⊥CE②BF∥CE③AB=AC从中选择一个条件，使四边形BECF是菱形，你认为这个条件是（只填写序号）

11（2017·

贵阳改）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

，D为AB的中点，且AE∥CD，CE∥AB.

（1）证明：

四边形ADCE是菱形

（2）∠B=60°

，BC=6，求菱形ADCE的高.（计算结果保留根号）

12（课本P58·

第3题改）两张宽度均为6的矩形纸片按图1所示的方式放置

（1）求证：

四边形ABCD是菱形.

（2）若∠ABC=120°

，求S四边形ABCD.

13如.图，在□ABCD中，E，F分别是边AD，BC上的点，且AE=CF，直线EF交BA的延长线于点G，交BD于点O.

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）连DG，若DG=BG，则四边形BEDF是什么特殊四边形?

请说明理由.

14.如图，点E为AB上一点，以AE，BE为边在AB同侧作等边△AED和等边△BEC，点P，Q，M，N分别是AB，BC，CD，DA的中点.

（1）判断四边形PNMQ的形状.并证明；

（2）∠NPQ的度数为（直接写出结果）

基础夯实3灵活运用菱形的性质

【方法归纳】抓住菱形边与对角线的特征，尤其是60°

角的菱形．

1．如图，菱形ABCD中，点E为AC上一点，且DE⊥BE．

（1）求证：

△ADE≌△ABE；

（2）若∠DAB＝60°

，AD＝2

，求DE的长．

2．如图，将矩形纸片ABCD沿FG折叠，使顶点B落在边AD上的E点，折痕的一端G点在边BC上，另一端F在AD上，AB＝8，BC＝12．

四边形BGEF为菱形；

（2）求BF的长．

3．如图，菱形ABCD，点P在BC上，AP的垂直平分线交BD于G，若∠C＝120°

的值．

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝4，BC＝3，D为AB上一点，以CD，CB为边作菱形CDEB，求AD的长．

基础夯实4灵活运用菱形的判定

【方法归纳】先证平行四边形，在证邻边相等或对角线垂直．

1．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝AD，∠BAD的平分线AE交BC于E．

四边形ABED是菱形；

（2）若∠B＝60°

，CE＝2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

2．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，AE∥BC，DE∥AB，DE与AC交于点O，连CE．

AD＝EC；

（2）若∠BAC＝90°

四边形ADCE是菱形．

3．（2018中考模拟）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°

，AB＝4cm，AD＝8cm，BC＝14cm，点P从点A出发，以1.5cm/s的速度向点D运动；

点Q从点C同时出发向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个端点也随之停止运动，则Q点的速度是多少cm/s是，PQ垂直平分对角线BD？

4．（2018武昌期末）已知四边形ABCD是矩形．

（1）如图1，E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点，求证：

四边形EFGH是菱形；

（2）如图2，若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD、AB、CD上，连BG，若AE＝2ED＝4，BG＝

，BF－AF＝

，求AB的长．

难点攻关5含60°

角的菱形的图形探究

【方法归纳】构造等边三角形和全等三角形．

1．已知菱形ABCD中，∠BAD＝120°

，E、F为射线BC和CD上一点，∠EAF＝60°

．

（1）如图1，若点E、F分别为BC、CD的中点，直接写出BE、DF、AB之间的数量关系；

（2）如图2，若点E、F分别为边BC、CD上任一点，探究BE、DF、AB之间的数量关系；

（3）如图3，若点E、F分别在BC、CD的延长线上，探究BE、DF、AB之间的数量关系．

2．如图，菱形ABCD中，∠C＝60°

，O为BD的中点，点E在AD上，点F在AB的延长线上，且∠EOF＝120°

AE＋BF＝

AB．

3．如图，菱形ABCD中，∠C＝60°

，O为BD的中点，E、F分别在DA，AB的延长线上，∠EOF＝120°

，试探究AE，BF，AB之间的数量关系．

4．（2018中考模拟）如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝60°

，E、F分别在AB、BC上，∠DEF＝60°

，DF交AC于G．

∠ADE＝∠BEF；

（2）求证：

△DEF为等边三角形；

（3）若AG＝AD＝3＋

，求EF的长．

20．正方形

（一）——正方形的性质

【预习归纳】

正方形既是特殊的，又是特殊的；

它的四个角都是，四条边都，对角线，并且每条对角线，正方形是图形，它有条对称轴．

【基础题训练】

知识点正方形的性质

1．正方形具有矩形不一定具有的性质是（）

A．四个角都是直角B．对角线互相平分C．对角线互相垂直D．对角线相等

2．正方形具有而菱形不一定具有的性质是（）

A．四条边都相等B．对角线互相垂直平分C．对角线相等D．每一条对角线平分一组对角

3．矩形、菱形、正方形都具有的性质是（）

A．对角线相等B．对角线互相垂直C．对角线互相平分D．对角线平分一组对角

4．如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE＝AC，则∠BCE的度数是．

5．如图，点P为正方形ABCD对角线BD上一点．

（1）图中的全等三角形有：

；

（2）若∠DAP＝20°

，则∠BPC＝．

6．如图，正方形ABCD中，延长BC至点E，使AC＝CE，AE交CD于点F，则∠AFC＝．

7．如图，正方形ABCD中，AC，BD相交于点O，AE平分∠BAC交BD于点E．

（1）求∠DEA的度数；

（2）若BD＝2，求BE的长．

8．（2017·

广安改）如图，在正方形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，连接BP，DP，延长BC到点E，使得PB＝PE，求证：

∠PDC＝∠PEC．

9．（2018·

武汉）已知正方形ABCD，以CD为边作等边△CDE，求∠AED的度数．

【中档题训练】

10．如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是AD，DC上的点，AF⊥BE．

AF＝BE；

（2）如图②，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ，MP与NQ是否相等？

并说明理由．

11．（2017·

东营改）如图，在边长为6的正方形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG．

BG＝FG；

（2）求BG的长．

12．如图，正方形ABCD，点P在正方形内一点，PA＝

，PB＝2，PC＝1．

（1）求PD的长；

（2）求BC的长．

【综合题训练】

13．已知正方形ABCD，点E、F在直线BC上，BE＝BF，EN⊥AF交AB于M，CD于N点，AC于点P

EA＝EP；

（2）求

21．正方形

（二）——正方形的判定

1．的矩形是正方形；

2．的菱形是正方形；

3．的平行四边形是正方形；

4．对角线互相垂直的是正方形；

5．对角线相等的是正方形．

知识点正方形的判定

1．在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°

，若添加一个条件即可判定该四边形是正方形，那么这个条件可以使（）

A．∠D＝90°

B．AB＝CDC．AD＝BCD．BC＝CD

2．下列说法中不正确的是（）

A．有一个角是直角的菱形是正方形B．两条对角线相等的菱形是正方形

C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．四条边都相等的四边形是正方形

3．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（）

A．当AB＝BC时，它是菱形B．当AC⊥BD时，它是菱形

C．当∠ABC＝90°

时，它是矩形D．当AC＝BD时，它是正方形

4．顺次连接正方形四边中点得到的四边形一定是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

5．顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是（）

A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形

6．对角线相等且互相垂直平分的四边形是（）

7．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°

，CD为角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥BC于点F，求证：

四边形DECF是正方形．

8．如图，已知E、F、G、H分别为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点，且AE＝BF＝CG＝DH，求证：

四边形EFGH为正方形．

9．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°

，D为BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：

四边形DFAE为正方形．

10．如图，将正方形ABCD的四边各延长一倍，即DM＝AD，CN＝CD，AQ＝AB，BP＝BC，连M、N、P、Q四点，试判断四边形MNPQ的形状，并加以证明．

11．图①，图②都是4×

4的正方形网格，每个小正方的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，在图①中已画出线段AB，在图②中已画出点A，按下列要求画图；

（1）在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；

（2）在图②中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．

12．（2017·

宁夏改）如图，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．

四边形ABCD是菱形；

（2）若∠AED＝2∠EAD，求证：

四边形ABCD是正方形．

13．如图，在△ABC中，∠BAC＝45°

，AD⊥BC于点D，将△ACD沿AC折叠为△ACF，将△ABD沿AB折叠为△ABG，延长FC和GB相交于点H．

四边形AFHG为正方形；

（2）若BD＝6，CD＝4，求AB的长．

基础夯实5正方形中的简单证明

【方法归纳】运用正方形的边、角、对角线的性质进行简单的线段关系、角度关系及位置关系的证明．

1．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°

，连CE，CF．

△ABF≌△CBE；

（2）判断△CEF的形状，并说明理由．

2．如图，正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点M，N分别在OA、OB上，且OM＝ON．

①BM＝CN；

②CN⊥BM；

（2）若点M、N分别在OA、OB的延长线上，则

（1）中的两个结论仍成立吗？

请说明理由．

3．如图，点E是正方形ABCD中AD边上的中点，BD、CE相交于点F，连接AF．

EB＝EC；

∠DAF＝∠DCF；

（3）求证：

AF⊥BE．

4．如图，已知正方形ABCD，点P在对角线BD上，PE⊥PA交BC于点E，PF⊥BC，垂足为点F．

∠PEC＝∠BAP；

EF＝FC；

DP＝

CF．

难点攻关6中点四边形——图形变式

（1）

【方法归纳】中点四边形的形状一般通过三角形中位线定理来证明．

1．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．

（1）如图①，若四边形ABCD是矩形，求证：

（2）如图②，若AC＝BD，则四边形EFGH的形状是．

2．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．

（1）如图①，若四边形ABCD是菱形，求证：

四边形EFGH是矩形；

（2）如图②，若AC⊥BD，则四边形EFGH的形状是．

3．四边形ABCD中，点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点．

（1）如图①，若四边形ABCD是正方形，则四边形EFGH的形状是；

（2）如图②，若AC＝BD，AC⊥BD，求证：

4．如图，CA＝CB，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°

，M、N、G、H分别为AF、AB、BD、DE的中点，求证：

四边形MNGH为正方形．

5．如图①，已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点，连接BD，易得到四边形EFGH是平行四边形．

（1）如图②，将图①中的点C移动至与点E重合的位置，F、G、H仍是BC、CD、DA的中点，求证：

四边形CFGH是平行四边形；

（2）如图③，在边长为1的小正方形组成的5×

5网格中，点A、C、B都在格点上，在格点上找一点D，使点C与BC、CD、DA的中点F、G、H组成的四边形CFGH是正方形，画出点D，并求正方形CFGH的边长．

难点攻关7一线三等角的模型

（一）——图形变式

（2）

【方法归纳】利用正方形边角的性质构造全等三角形求点的坐标．

基本图形：

已知正方形ABCD，过B、D两点分别向过点C的直线作垂线，垂足分别为点E、F，则△BCE≌△CDF．

1．如图，A（－1，0），B（0，3）以AB为边作正方形ABCD，分别求点C、D的坐标．

2．如图，边长为2的正方形OABC的OA边与y轴的夹角为30°

，分别求点B、C的坐标．

3．如图，E（－2，0），A（0，4），延长EA至点D，使AD＝AE，四边形ADCB为正方形．

（1）求点C的坐标；

（2）求CE的长．

4．如图，A（－3，4），四边形OABC为正方形，AB交y轴于点D，求点B的坐标．

5．（2017·

武汉二中月考改）如图，矩形OABC中，A（－2，3），C（6，4），AB交y轴于D．

OC＝2OA；

（2）求点B的坐标．

难点攻关8一线三等角的模型

（二）——图形变式（3）

【教材母题】

（课本P69—14）如图，四边形ABCD是正方形，点E是BC的中点，∠AEF＝90°

，且EF交正方形的外角平分线CF于点F，求证：

AE＝EF．

变式1如图，若点E不是BC的中点，其他条件不变，则AE＝EF是否仍成立？

试说明理由．

变式2如图，若点E在BC的延长线上，其他条件不变，试探究AE和EF之间的数量关系．

式3如图，四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°

，点E是BC边上一点，∠AEF＝60°

，且EF交直线CD于点F，求证：

变式4如图，在上题中，若E在BC的延长线上，其他条件不变，试探究AE与EF的数量关系．