1、18.菱形(一) 菱形的性质预习归纳1.有一组 相等的平行四边形是菱形;2.菱形的四条边都 ,菱形的 互相 ,且每一条对角线 ;3.菱形的面积等于两条 乘积的一半.基础题训练知识点1菱形的性质1菱形具有平行匹边形不一定具有的性质是( ).A.对边平行 B.对角相等C.对角线互相平分 D.对角线互相垂直2若菱形ABCD的对角线交于O点,则其中等腰三角形的个数为( )A.1个 B.2个 C.3个 D.4个3.(2017扬州)如图,菱形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E为AD的中点,若OE=3,则菱形ABCD的周长为 4.如图,在菱形ABCD中,AC= 4,BAD=120,则菱形ABCD的周长
2、为( ).A.20 B.18 C.16 D.15.如图,点E是菱形ABCD的对角线BD上一点,连AE,CE.则图中全等三角形共有( ),A.1对 B.2对 C.3对 D.4对6.(2017青岛)如图,菱形ABCD中E,F分别是AB,BC边的中点.连EF,若EF=,BD=4.则菱形ABCD的周长为( ).A.4 B.4 C.4 D.287.(2017广安改)如图,四边形ABCD是菱形,CEAB交AB的延长线于点E.CFAD交AD的延长线于点F ,求证:DF=BE. 知识点2菱形的面积8.(2017.无锡改)菱形的两条对角线长分别是6和8,则此菱形的边长是 ,面积是 9.如图,菱形ABCD的边长为
3、2cm,E是BC的中点,且AEBC,则菱形ABCD的面积为 cm210.如图,已知菱形的周长为40cm,两邻角度数之比为1:2. (1)求菱形的两条对角线的长;(2)求菱形的面积11.如图,菱形ABCD中,点E,F分别在AB,AD上, 且AE=AF, 求证:CE=CF. 12.在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AC=8,BD=6,OEBC,垂足为点E,求OE13.(2018中考模拟)如图在菱形ABCD中,AB的垂直平分线EF交对角线AC于点F,垂足为点E,连接DF.且CDF =24.求DAB的度数为 . 14.如图,菱形ABCD中.AB=a,ABC=60,点E,F分别在边CB ,D
4、C的延长线上,EAF=60.(1)求证:E=F(2)求CE-CF的值综合题训练15.(2017.七一中学月考改如图,在边长为2a的菱形ABCD中,DAB=60,点E是AD上不同于A,D两点的一动点,点F是CD上一动点,且AE+CF=2a. (1)证明,不论点E,F怎样移动,BEF总是等边三角形;(2)求BEF周长的最小值. 19. 菱形(二) 菱形的判定预习归纳1有一组邻边 的平行四边形是菱形;2.对角线 的平行四边形是菱形;3.四条边 的四边形是菱形.基础题训练知识点1有一组邻边相等的平行四边形是菱形1(2017青海改)如图,要使ABCD成为菱形,则需添加的一个条件是( )A.AC=AD B
5、.BA=BC C.ABC=90 D.AC= BD 2.如图,已知ABC中, AD平分BAC, DEAC, DFAB,分别交AB,AC于E,F,则四边形AEDF为 3.如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,CEBD ,DEAC.若AC=4,则四边形OCED的周长为( ).A.4 B.8 C10 D.124.如图,在四边形ABCD中,ABCD,E,F为对角线AC上两点,且AE=CF ,DFBE ,AC平分BAD.求证:四边形ABCD为菱形.知识点2对角线互相垂直的平行四边形是菱形5.如图,四边形ABCD中,ACBD,则下列条件中能判定四边形ABCD为菱形的是( ).A.AB=BC B.A
6、C,BD互相平分 C.AC= BD D.ABCD .6. ABCD的对角线AC,BD交于点O,下列条件中,不能判定ABCD是菱形的是( ) A.AB=AD B.ACBD C.BAD=ADC D.CA平分BCD7.如图,ABCD的对角战AC的垂直平分线与边AD,BC分别交于点E,F,求证:四边形AFCE是菱形知识点3四条边相等的四边形是菱形8.依次连接一个矩形四边中点得到的图形是( ).A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.无法确定9.如图,在ABC中,AB=BC,D,E,F分别为BC,AC,AB的中点,求证:四边形BDEF是菱形中档题训练10(2017张家界改)如图,在ABC中,点D是BC的
7、中点,点E,F分别在线段AD及其延长线上,且DE= DF.给出下列条件:BECEBFCEAB=AC 从中选择一个条件,使四边形BECF是菱形,你认为这个条件是 (只填写序号)11(2017贵阳改)如图,在RtABC中,ACB =90,D为AB的中点,且AECD, CEAB.(1)证明:四边形ADCE是菱形(2)B=60,BC=6,求菱形ADCE的高.(计算结果保留根号)12(课本P58第3题改)两张宽度均为6的矩形纸片按图1所示的方式放置(1)求证:四边形ABCD是菱形.(2)若ABC= 120,求S四边形ABCD.13如.图,在ABCD中,E,F分别是边AD,BC上的点,且AE=CF,直线E
8、F交BA的延长线于点G,交BD于点O.(1)求证: ABECDF;(2)连DG,若DG=BG,则四边形BEDF是什么特殊四边形?请说明理由.14.如图,点E为AB上一点,以AE ,BE为边在AB同侧作等边AED和等边BEC,点P,Q,M,N分别是AB,BC ,CD ,DA的中点.(1)判断四边形PNMQ的形状.并证明;(2) NPQ的度数为 (直接写出结果)基础夯实3 灵活运用菱形的性质【方法归纳】抓住菱形边与对角线的特征,尤其是60角的菱形1如图,菱形ABCD中,点E为AC上一点,且DEBE(1)求证:ADEABE;(2)若DAB60,AD2,求DE的长2如图,将矩形纸片ABCD沿FG折叠,
9、使顶点B落在边AD上的E点,折痕的一端G点在边BC上,另一端F在AD上,AB8,BC12四边形BGEF为菱形;(2)求BF的长3如图,菱形ABCD,点P在BC上,AP的垂直平分线交BD于G,若C120的值4如图,在RtABC中,ACB90,AC4,BC3,D为AB上一点,以CD,CB为边作菱形CDEB,求AD的长基础夯实4 灵活运用菱形的判定【方法归纳】先证平行四边形,在证邻边相等或对角线垂直1如图,在四边形ABCD中,ADBC,ABAD,BAD的平分线AE交BC于E四边形ABED是菱形;(2)若B60,CE2BE,试判断CDE的形状,并说明理由2如图,在ABC中,AD是边BC上的中线,AEB
10、C,DEAB,DE与AC交于点O,连CEADEC;(2)若BAC90四边形ADCE是菱形3(2018中考模拟)如图,在四边形ABCD中,ADBC,B90,AB4cm,AD8cm,BC14cm,点P从点A出发,以1.5cm/s的速度向点D运动;点Q从点C同时出发向点B运动,规定其中一个动点到达端点时,另一个端点也随之停止运动,则Q点的速度是多少cm/s是,PQ垂直平分对角线BD?4(2018武昌期末)已知四边形ABCD是矩形(1)如图1,E、F、G、H分别是AD、AB、BC、CD的中点,求证:四边形EFGH是菱形;(2)如图2,若菱形EFGH的三个顶点E、F、H分别在AD、AB、CD上,连BG,
11、若AE2ED4,BG,BFAF,求AB的长难点攻关5 含60角的菱形的图形探究【方法归纳】构造等边三角形和全等三角形1已知菱形ABCD中,BAD120,E、F为射线BC和CD上一点,EAF60(1)如图1,若点E、F分别为BC、CD的中点,直接写出BE、DF、AB之间的数量关系;(2)如图2,若点E、F分别为边BC、CD上任一点,探究BE、DF、AB之间的数量关系;(3)如图3,若点E、F分别在BC、CD的延长线上,探究BE、DF、AB之间的数量关系2如图,菱形ABCD中,C60,O为BD的中点,点E在AD上,点F在AB的延长线上,且EOF120AEBFAB3如图,菱形ABCD中,C60,O为
12、BD的中点,E、F分别在DA,AB的延长线上,EOF120,试探究AE,BF,AB之间的数量关系4(2018中考模拟)如图,在菱形ABCD中,BAD60,E、F分别在AB、BC上,DEF60,DF交AC于GADEBEF;(2)求证:DEF为等边三角形;(3)若AGAD3,求EF的长20正方形(一)正方形的性质【预习归纳】正方形既是特殊的 ,又是特殊的 ;它的四个角都是 ,四条边都 ,对角线 ,并且每条对角线 ,正方形是 图形,它有 条对称轴【基础题训练】知识点 正方形的性质1正方形具有矩形不一定具有的性质是( )A四个角都是直角 B对角线互相平分 C对角线互相垂直 D对角线相等2正方形具有而菱
13、形不一定具有的性质是( )A四条边都相等 B对角线互相垂直平分 C对角线相等 D每一条对角线平分一组对角3矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )A对角线相等 B对角线互相垂直 C对角线互相平分 D对角线平分一组对角4如图,四边形ABCD是正方形,延长AB到点E,使AEAC,则BCE的度数是 5如图,点P为正方形ABCD对角线BD上一点(1)图中的全等三角形有: ;(2)若DAP20,则BPC 6如图,正方形ABCD中,延长BC至点E,使ACCE,AE交CD于点F,则AFC 7如图,正方形ABCD中,AC,BD相交于点O,AE平分BAC交BD于点E(1)求DEA的度数;(2)若BD2,求BE的长
14、8(2017广安改)如图,在正方形ABCD中,点P是对角线AC上的一点,连接BP,DP,延长BC到点E,使得PBPE,求证:PDCPEC9(2018武汉)已知正方形ABCD,以CD为边作等边CDE,求AED的度数【中档题训练】10如图,在正方形ABCD中,E、F分别是AD,DC上的点,AFBEAFBE;(2)如图,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是AB、BC、CD、DA上的点,且MPNQ,MP与NQ是否相等?并说明理由11(2017东营改)如图,在边长为6的正方形ABCD中,点E是边CD的中点,将ADE沿AE对折至AFE,延长EF交边BC于点G,连接AGBGFG;(2)求BG的长12如图
15、,正方形ABCD,点P在正方形内一点,PA,PB2,PC1(1)求PD的长;(2)求BC的长【综合题训练】13已知正方形ABCD,点E、F在直线BC上,BEBF,ENAF交AB于M,CD于N点,AC于点PEAEP;(2)求21正方形(二)正方形的判定1 的矩形是正方形;2 的菱形是正方形;3 的平行四边形是正方形;4对角线互相垂直的 是正方形;5对角线相等的 是正方形知识点 正方形的判定1在四边形ABCD中,ABC90,若添加一个条件即可判定该四边形是正方形,那么这个条件可以使( )AD90 BABCD C ADBC DBCCD2下列说法中不正确的是( )A有一个角是直角的菱形是正方形 B两条
16、对角线相等的菱形是正方形C对角线互相垂直的矩形是正方形 D四条边都相等的四边形是正方形3已知四边形ABCD是平行四边形,下列结论中不正确的是( )A当ABBC时,它是菱形 B当ACBD时,它是菱形C当ABC90时,它是矩形 D当ACBD时,它是正方形4顺次连接正方形四边中点得到的四边形一定是( )A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形5顺次连接菱形四边中点所得的四边形一定是( )A平行四边形 B矩形 C菱形 D正方形6对角线相等且互相垂直平分的四边形是( )7如图,在ABC中,ACB90,CD为角平分线,DEAC于点E,DFBC于点F,求证:四边形DECF是正方形8如图,已知E、F、G、H分别
17、为正方形ABCD的边AB、BC、CD、DA上一点,且AEBFCGDH,求证:四边形EFGH为正方形9如图,在ABC中,ABAC,A90,D为BC的中点,DEAB于E,DFAC于F,求证:四边形DFAE为正方形10如图,将正方形ABCD的四边各延长一倍,即DMAD,CNCD,AQAB,BPBC,连M、N、P、Q四点,试判断四边形MNPQ的形状,并加以证明11图,图都是44的正方形网格,每个小正方的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,在图中已画出线段AB,在图中已画出点A,按下列要求画图;(1)在图中,以格点为顶点,AB为一边画一个正方形;(2)在图中,以点A为一个顶点,另外三个顶点也在格点上
18、,画一个面积最大的正方形12(2017宁夏改)如图,已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,E是BD延长线上的点,且ACE是等边三角形四边形ABCD是菱形;(2)若AED2EAD,求证:四边形ABCD是正方形13如图,在ABC中,BAC45,ADBC于点D,将ACD沿AC折叠为ACF,将ABD沿AB折叠为ABG,延长FC和GB相交于点H四边形AFHG为正方形;(2)若BD6,CD4,求AB的长基础夯实5 正方形中的简单证明【方法归纳】运用正方形的边、角、对角线的性质进行简单的线段关系、角度关系及位置关系的证明1如图,点E是正方形ABCD外一点,点F是线段AE上一点,EBF是等腰直角
19、三角形,其中EBF90,连CE,CFABFCBE;(2)判断CEF的形状,并说明理由2如图,正方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,点M,N分别在OA、OB上,且OMONBMCN;CNBM;(2)若点M、N分别在OA、OB的延长线上,则(1)中的两个结论仍成立吗?请说明理由3如图,点E是正方形ABCD中AD边上的中点,BD、CE相交于点F,连接AFEBEC;DAFDCF;(3)求证:AFBE4如图,已知正方形ABCD,点P在对角线BD上,PEPA交BC于点E,PFBC,垂足为点FPECBAP;EFFC;DPCF难点攻关6 中点四边形图形变式(1)【方法归纳】中点四边形的形状一般通过三角形
20、中位线定理来证明1四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点(1)如图,若四边形ABCD是矩形,求证:(2)如图,若ACBD,则四边形EFGH的形状是 2四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点(1)如图,若四边形ABCD是菱形,求证:四边形EFGH是矩形;(2)如图,若ACBD,则四边形EFGH的形状是 3四边形ABCD中,点E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点(1)如图,若四边形ABCD是正方形,则四边形EFGH的形状是 ;(2)如图,若ACBD,ACBD,求证:4如图,CACB,CDCE,ACBDCE90,M、N、G、H分
21、别为AF、AB、BD、DE的中点,求证:四边形MNGH为正方形5如图,已知点E、F、G、H分别是四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA的中点,连接BD,易得到四边形EFGH是平行四边形(1)如图,将图中的点C移动至与点E重合的位置,F、G、H仍是BC、CD、DA的中点,求证:四边形CFGH是平行四边形;(2)如图,在边长为1的小正方形组成的55网格中,点A、C、B都在格点上,在格点上找一点D,使点C与BC、CD、DA的中点F、G、H组成的四边形CFGH是正方形,画出点D,并求正方形CFGH的边长难点攻关7 一线三等角的模型(一)图形变式(2)【方法归纳】利用正方形边角的性质构造全等三角形求点
22、的坐标基本图形:已知正方形ABCD,过B、D两点分别向过点C的直线作垂线,垂足分别为点E、F,则BCECDF1如图,A(1,0),B(0,3)以AB为边作正方形ABCD,分别求点C、D的坐标2如图,边长为2的正方形OABC的OA边与y轴的夹角为30,分别求点B、C的坐标3如图,E(2,0),A(0,4),延长EA至点D,使ADAE,四边形ADCB为正方形(1)求点C的坐标;(2)求CE的长4如图,A(3,4),四边形OABC为正方形,AB交y轴于点D,求点B的坐标5(2017武汉二中月考改)如图,矩形OABC中,A(2,3),C(6,4),AB交y轴于DOC2OA;(2)求点B的坐标难点攻关8 一线三等角的模型(二)图形变式(3)【教材母题】(课本P6914)如图,四边形ABCD是正方形,点E是BC的中点,AEF90,且EF交正方形的外角平分线CF于点F,求证:AEEF变式1 如图,若点E不是BC的中点,其他条件不变,则AEEF是否仍成立?试说明理由变式2 如图,若点E在BC的延长线上,其他条件不变,试探究AE和EF之间的数量关系式3 如图,四边形ABCD是菱形,ABC60,点E是BC边上一点,AEF60,且EF交直线CD于点F,求证:变式4 如图,在上题中,若E在BC的延长线上,其他条件不变,试探究AE与EF的数量关系
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