双曲线.doc

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双曲线

一重点难点：

双曲线的定义和性质

二基础知识点：

1.双曲线的定义：

平面内到两定点的距离的差的绝对值为常数（小于）的动点的轨迹叫双曲线。

即。

当2﹤2时，轨迹是双曲线；当2=2时，轨迹是两条射线；当2﹥2时，轨迹不存在。

2．焦点在轴上时：

；焦点在轴上时：

（）

3．范围、对称性顶点：

特殊点：

实轴：

长为2a,a叫做半实轴长虚轴：

长为2b，b叫做虚半轴长

4．渐近线：

双曲线的渐近线方程是（）

双曲线的渐近线方程是（）

5．等轴双曲线：

实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，

6．共渐近线的双曲线系：

渐近线为，双曲线方程就是：

7．离心率：

双曲线的焦距与实轴长的比

范围：

，“e的大小”与“开口的阔窄”的关系

8．共轭双曲线：

的共轭为

9．双曲线的第二定义：

到定点F的距离与到定直线的距离之比为常数的点的轨迹是双曲线其中，定点叫做双曲线的焦点，定直线叫做双曲线的准线常数e是双曲线的离心率．

10．准线方程：

左焦点对应着左准线，右焦点对应着右准线；上焦点对应着上准线；下焦点对应着下准线

焦点到准线的距离（也叫焦参数）

11.双曲线的焦半径（分别是双曲线的左（下），右（上）焦点）

即有焦点在x轴上的双曲线的焦半径公式：

焦点在y轴上

12．焦点弦：

过焦点的直线割双曲线所成的相交弦通径：

过焦点且垂直于对称轴的相交弦

例题1

1，已知，一曲线上的动点到距离之差为6，则双曲线的方程为

点拨：

一要注意是否满足，二要注意是一支还是两支

，的轨迹是双曲线的右支.其方程为

2双曲线的渐近线为，则离心率为

点拨：

当焦点在x轴上时，，；当焦点在y轴上时，，

4设P为双曲线上的一点F1、F2是该双曲线的两个焦点，若|PF1|：

|PF2|=3：

2，则△PF1F2的面积为 （）

A． B．12 C． D．24

解析：

①

又②

由①、②解得

直角三角形，

故选B。

5如图2所示，为双曲线的左

焦点，双曲线上的点与关于轴对称，

则的值是（）

A．9B．16C．18D．27

[解析]，选C

6.P是双曲线左支上的一点，F1、F2分别是左、右焦点，且焦距为2c，则的内切圆的圆心的横坐标为（）

（A） （B） （C） （D）

［解析］设的内切圆的圆心的横坐标为，

由圆的切线性质知，

7，若椭圆与双曲线有相同的焦点F1，F2，P是两条曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|的值是（）

A.B.C.D.

【解析】椭圆的长半轴为

双曲线的实半轴为

，故选A.

1已知双曲线C与双曲线－=1有公共焦点，且过点（3，2）.求双曲线C的方程．

【解题思路】运用方程思想，列关于的方程组

[解析]解法一：

设双曲线方程为－=1.由题意易求c=2.

又双曲线过点（3，2），∴－=1.

又∵a2+b2=

（2）2，∴a2=12，b2=8.

故所求双曲线的方程为－=1.

解法二：

设双曲线方程为－＝1，

将点（3，2）代入得k=4，所以双曲线方程为－＝1.

2.已知双曲线的渐近线方程是，焦点在坐标轴上且焦距是10，则此双曲线的方程为；

[解析]设双曲线方程为，

当时，化为，，

当时，化为，，

综上，双曲线方程为或

3.以抛物线的焦点为右焦点,且两条渐近线是的双曲线方程为___________________.

[解析]抛物线的焦点为，设双曲线方程为，，双曲线方程为

4.已知点，，，动圆与直线切于点，过、与圆相切的两直线相交于点，则点的轨迹方程为

A．B．

C．（x>0）D．

[解析]，点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的右支，选B

1若双曲线的焦点到渐近线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为（）

A. 　　B.　　 C. 　　　 D.

【解题思路】通过渐近线、离心率等几何元素，沟通的关系

[解析]焦点到渐近线的距离等于实轴长，故，,所以

【名师指引】双曲线的渐近线与离心率存在对应关系,通过的比例关系可以求离心率,也可以求渐近线方程

2.双曲线的渐近线方程是（）

A. B. C. D.

[解析]选C

3.焦点为（0，6），且与双曲线有相同的渐近线的双曲线方程是（）

A．B．C．D．

[解析]从焦点位置和具有相同的渐近线的双曲线系两方面考虑，选B

4，过点（1，3）且渐近线为的双曲线方程是

【解析】设所求双曲线为

点（1，3）代入：

.代入

（1）：

即为所求.

【评注】在双曲线中，令即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为，而无须考虑其实、虚轴的位置.

5设CD是等轴双曲线的平行于实轴的任一弦，求证它的两端点与实轴任一顶点的连线成直角.

【证明】如图设等轴双曲线方程为，

直线CD：

y=m.代入

（1）：

.故有：

.

取双曲线右顶点.那么：

.即∠CBD=90°.

同理可证：

∠CAD=90°.

1设为双曲线上的一点，是该双曲线的两个焦点，若，则的面积为（）

A． B． C. D．

【解析】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：

.设；

于是，

故知△PF1F2是直角三角形，∠F1PF2=90°.

∴.选B.

求弦

1双曲线的一弦中点为（2，1），则此弦所在的直线方程为（）

A.B.C.D.

【解析】设弦的两端分别为.则有：

.

∵弦中点为（2，1），∴.故直线的斜率.

则所求直线方程为：

，故选C.

“设而不求”具体含义是：

在解题中我们希望得到某种结果而必须经过某个步骤，只要有可能，可以用虚设代替而不必真地去求它.

但是，“设而不求”的手段应当慎用.不问条件是否成熟就滥用，也会出漏子.请看：

2在双曲线上，是否存在被点M（1，1）平分的弦？

如果存在，求弦所在的直线方程；如不存在，请说明理由.

如果不问情由地利用“设而不求”的手段，会有如下解法：

【正解】在上述解法的基础上应当加以验证.由

这里，故方程

（2）无实根，也就是所求直线不合条件.

此外，上述解法还疏忽了一点：

只有当时才可能求出k=2.若.说明这时直线与双曲线只有一个公共点，仍不符合题设条件.

结论；不存在符合题设条件的直线.

1如图，点为双曲线的左焦点，左准线交轴于点，点P是上的一点，已知，且线段PF的中点在双曲线的左支上.

（Ⅰ）求双曲线的标准方程；

（Ⅱ）若过点的直线与双曲线的左右

两支分别交于、两点，设，当

时，求直线的斜率的取值范围.

【分析】第（Ⅰ）问中，线段PF的中点M

的坐标是主要变量，其它都是辅助变量.注意到

点M是直角三角形斜边的中点，所以利用中点公式是设参消参的主攻方向

第（Ⅱ）中，直线的斜率是主要变量，其它包括λ都是辅助变量.斜率的几何意义是有关直线倾斜角θ的正切，所以设置直线的参数方程，而后将参数λ用θ的三角式表示，是一个不错的选择.

【解析】（Ⅰ）设所求双曲线为：

.其左焦点为F（-c。

0）；左准线：

.

由，得P（，1）；由

FP的中点为.代入双曲线方程：

根据

（1）与

（2）.所求双曲线方程为.

（Ⅱ）设直线的参数方程为：

.代入得：

当，方程（3）总有相异二实根，设为.

已知直线与双曲线的左右两支分别交于、两点，∴

，.于是：

.注意到在上是增函数，

（4）代入（5）：

∵双曲线的渐近线斜率为，故直线与双曲线的左右两支分别交必须

.综合得直线的斜率的取值范围是.

基本题型：

1．双曲线16x2―9y2=―144的实轴长、虚轴长、离心率分别为_________

2．顶点在x轴上，两顶点间的距离为8，e=的双曲线的标准方程为_________

3．双曲线的两条准线间的距离等于_____

4．若双曲线上一点P到双曲线上焦点的距离是8，那么点P到上准线的距离是___

5．经过点M（3,―1），且对称轴在坐标轴上的等轴双曲线的标准方程是_____

6．以y=±x为渐近线的双曲线的方程是_____

7．等轴双曲线的离心率为；等轴双曲线的两条渐近线的夹角是

8．从双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离是.

9．与有公共焦点，且离心率e=的双曲线方程是

10．以5x2+8y2=40的焦点为顶点，且以5x2+8y2=40的顶点为焦点的双曲线的方程是__.

11．已知双曲线上一点到其右焦点距离为8，求其到左准线的距离

12．若共轭双曲线的离心率分别为e1和e2，则e1和e2必满足的关系式为________

13．若双曲线经过点（6,），且渐近线方程是y=±x，则这条双曲线的方程是_____

14．双曲线的渐近线为y=±x，则双曲线的离心率为_______

15．如果双曲线右支上一点P到它的右焦点的距离等于2，则P到左准线的距离为___

16．已知双曲线的一条准线是y=1，则实数k的值是______

17．在双曲线的一支上有不同的三点A（x1,y1）,B（,6）,C（x3,y3）与焦点F间的距离成等差数列，则y1+y3等于___

参考答案：

1.8,6,2.3.4.5.

6.7.8.b9.

10.11.答案：

12.=113.

14.或15.816.―17.12