双曲线及其标准方程练习题.doc

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课时作业（十）

一、选择题

1．方程－＝1表示双曲线，则m的取值范围（　　）

A．－2＜m＜2　　　　　　 B．m＞0

C．m≥0 D．|m|≥2

【解析】　∵已知方程表示双曲线，∴（2＋m）（2－m）＞0.

∴－2＜m＜2.

【答案】　A

2．设动点P到A（－5,0）的距离与它到B（5,0）距离的差等于6，则P点的轨迹方程是（　　）

A.－＝1 B.－＝1

C.－＝1（x≤－3） D.－＝1（x≥3）

【解析】　由题意知，轨迹应为以A（－5,0），B（5,0）为焦点的双曲线的右支．由c＝5，a＝3，知b2＝16，

∴P点的轨迹方程为－＝1（x≥3）．

【答案】　D

3．（2014·福州高级中学期末考试）已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1，F2分别为（，0）和（－，0），点P在双曲线上，且PF1⊥PF2，△PF1F2的面积为1，则双曲线的方程为（　　）

A.－＝1 B.－＝1

C.－y2＝1 D．x2－＝1

【解析】　由

⇒（|PF1|－|PF2|）2＝16，

即2a＝4，解得a＝2，又c＝，所以b＝1，故选C.

【答案】　C

4．已知椭圆方程＋＝1，双曲线的焦点是椭圆的顶点，顶点是椭圆的焦点，则双曲线的离心率为（　　）

A.　　　　　　 B.

C．2 D．3

【解析】　椭圆的焦点为（1,0），顶点为（2,0），即双曲线中a＝1，c＝2，所以双曲线的离心率为e＝＝＝2.

【答案】　C

二、填空题

5．设点P是双曲线－＝1上任意一点，F1，F2分别是其左、右焦点，若|PF1|＝10，则|PF2|＝________.

【解析】　由双曲线的标准方程得a＝3，b＝4.

于是c＝＝5.

（1）若点P在双曲线的左支上，

则|PF2|－|PF1|＝2a＝6，∴|PF2|＝6＋|PF1|＝16；

（2）若点P在双曲线的右支上，

则|PF1|－|PF2|＝6，

∴|PF2|＝|PF1|－6＝10－6＝4.

综上，|PF2|＝16或4.

【答案】　16或4

6．（2014·河南省洛阳高一月考）已知F1（－3,0），F2（3,0），满足条件|PF1|－|PF2|＝2m－1的动点P的轨迹是双曲线的一支，则m可以是下列数据中的________．（填序号）

①2；②－1；③4；④－3.

【解析】　设双曲线的方程为－＝1，则c＝3，∵2a<2c＝6，∴|2m－1|<6，且|2m－1|≠0，∴－

【答案】　①②

7．（2014·哈尔滨高二检测）已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线C：

－＝1的左、右焦点，顶点P在双曲线C上，则的值等于________．

【解析】　由方程－＝1知a2＝16，b2＝9，即a＝4，c＝＝5.

在△ABP中，利用正弦定理和双曲线的定义知，＝＝＝＝.

【答案】　

三、解答题

8．求与双曲线－＝1有相同焦点且过点P（2,1）的双曲线的方程．

【解】　∵双曲线－＝1的焦点在x轴上．

依题意，设所求双曲线为－＝1（a>0，b>0）．

又两曲线有相同的焦点，

∴a2＋b2＝c2＝4＋2＝6. ①

又点P（2,1）在双曲线－＝1上，

∴－＝1. ②

由①、②联立，得a2＝b2＝3，

故所求双曲线方程为－＝1.

9．已知方程kx2＋y2＝4，其中k为实数，对于不同范围的k值分别指出方程所表示的曲线类型．

【解】　　

（1）当k＝0时，y＝±2，表示两条与x轴平行的直线；

（2）当k＝1时，方程为x2＋y2＝4，表示圆心在原点，半径为2的圆；

（3）当k＜0时，方程为－＝1，表示焦点在y轴上的双曲线；

（4）当0＜k＜1时，方程为＋＝1，表示焦点在x轴上的椭圆；

（5）当k＞1时，方程为＋＝1，表示焦点在y轴上的椭圆．

1．椭圆＋＝1与双曲线－＝1有相同的焦点，则a的值为

（　　）

A．1B.C．2D．3

【解析】　由题意知椭圆、双曲线的焦点在x轴上，且

a>0.∵4－a2＝a＋2，∴a2＋a－2＝0，

∴a＝1或a＝－2（舍去）．故选A.

【答案】　A

2．（2014·桂林高二期末）已知F1、F2为双曲线C：

x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于（　　）

A．2B．4C．6D．8

【解析】　不妨设P是双曲线右支上一点，

在双曲线x2－y2＝1中，a＝1，b＝1，c＝，

则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，|F1F2|＝2，

∵|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos∠F1PF2，

∴8＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·，

∴8＝（|PF1|－|PF2|）2＋|PF1|·|PF2|，

∴8＝4＋|PF1||PF2|，

∴|PF1||PF2|＝4.故选B.

【答案】　B

3．（2014·福建省厦门一中期末考试）已知双曲线－＝1的左焦点为F，点P为双曲线右支上的一点，且PF与圆x2＋y2＝16相切于点N，M为线段PF的中点，O为坐标原点，则|MN|－|MO|＝________.

【解析】　设F′是双曲线的右焦点，连PF′（图略），因为M，O分别是FP，FF′的中点，所以|MO|＝|PF′|，

又|FN|＝＝5，且由双曲线的定义知|PF|－|PF′|＝8，故|MN|－|MO|＝|MF|－|FN|－|PF′|＝（|PF|－|PF′|）－|FN|＝×8－5＝－1.

【答案】　－1

4．已知双曲线－＝1的两焦点为F1、F2.

（1）若点M在双曲线上，且·＝0，求点M到x轴的距离；

（2）若双曲线C与已知双曲线有相同焦点，且过点（3，2），求双曲线C的方程．

【解】　　

（1）不妨设M在双曲线的右支上，M点到x轴的距离为h，

·＝0，

则MF1⊥MF2，

设|MF1|＝m，|MF2|＝n，

由双曲线定义知，m－n＝2a＝8， ①

又m2＋n2＝（2c）2＝80， ②

由①②得m·n＝8，

∴mn＝4＝|F1F2|·h，

∴h＝.

（2）设所求双曲线C的方程为

－＝1（－4<λ<16），

由于双曲线C过点（3，2），

所以－＝1，

解得λ＝4或λ＝－14（舍去）．

∴所求双曲线C的方程为－＝1.