南通泰州一模数学.doc

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2018届高三年级第一次模拟考试（四）

数学

（满分160分，考试时间120分钟）

参考公式：

柱体的体积公式：

V柱体＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为高．

一、填空题：

本大题共14小题，每小题5分，共计70分．

1.已知集合A＝{－1，0，a}，B＝{0，}．若B⊆A，则实数a的值为________．

2.已知复数z＝，其中i为虚数单位，则复数z的实部为________．

3.已知某校高一、高二、高三的学生人数分别为400，400，500.为了解该校学生的身高情况，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为65的样本，则应从高三年级抽取________名学生．

4.根据如图所示的伪代码，可知输出的结果S为________．

5.若某同学欲从数学建模、航模制作、程序设计和机器人制作4个社团中随机选择2个，则数学建模社团被选中的概率为________．

6.若实数x，y满足则2x—y的最大值为________．

7.在平面直角坐标系xOy中，已知点F为抛物线y2＝8x的焦点，则点F到双曲线－＝1的渐近线的距离为________．

8.在各项均为正数的等比数列{an}中，若a2＝1，a8＝a6＋6a4，则a3的值为________．

9.在平面直角坐标系xOy中，将函数y＝sin的图象向右平移φ个单位长度，若平移后得到的图象经过坐标原点，则φ的值为________．

10.若曲线y＝xlnx在x＝1与x＝t处的切线互相垂直，则正数t的值为________．

11.如图，铜质六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知正六棱柱的底面边长、高都为4cm，圆柱的底面积为9cm2.若将该螺帽熔化后铸成一个高为6cm的正三棱柱零件，则该正三棱柱的底面边长为________cm.（不计损耗）

（第11题）　（第12题）

12.如图，已知矩形ABCD的边长AB＝2，AD＝1.点P，Q分别在边BC，CD上，且∠PAQ＝45°，则·的最小值为________．

13.在平面直角坐标系xOy中，已知点A（－4，0），B（0，4），从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM的长度的最大值为________．

14.已知函数f（x）＝g（x）＝x2＋1－2a.若函数y＝f（g（x））有4个零点，则实数a的取值范围是________________．

二、解答题：

本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15.（本小题满分14分）

如图，在三棱锥PABC中，AB⊥PC，CA＝CB，M是AB的中点．点N在棱PC上，D是BN的中点．

求证：

（1）MD∥平面PAC；

（2）平面ABN⊥平面PMC.

16.（本小题满分14分）

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a2＝b2＋c2－bc，a＝b.

（1）求sinB的值；

（2）求cos的值．

17.（本小题满分14分）

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1（a>b>0）的离心率为，两条准线之间的距离为4.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知椭圆的左顶点为A，点M在圆x2＋y2＝上，直线AM与椭圆相交于另一点B，且△AOB的面积是△AOM的面积的2倍，求直线AB的方程．

18.（本小题满分16分）

如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是边长为80m的正方形ABCD，另一部分是以AD为直径的半圆，其圆心为O.规划修建的3条直道AD，PB，PC将广场分割为6个区域：

Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ为绿化区域（图中阴影部分），Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ为休闲区域，其中点P在半圆弧上，AD分别与PB，PC相交于点E，F.（道路宽度忽略不计）

（1）若PB经过圆心，求点P到AD的距离：

（2）设∠POD＝θ，θ∈.

①试用θ表示EF的长度；

②当sinθ为何值时，绿化区域面积之和最大．

19.（本小题满分16分）

已知函数g（x）＝x3＋ax2＋bx（a，b∈R）有极值，且函数f（x）＝（x＋a）ex的极值点是g（x）的极值点，其中e是自然对数的底数．（极值点是指函数取得极值时对应的自变量的值）

（1）求b关于a的函数关系式；

（2）当a>0时，若函数F（x）＝f（x）－g（x）的最小值为M（a），证明：

M（a）<－.

20.（本小题满分16分）

若数列{an}同时满足：

①对于任意的正整数n，an＋1≥an恒成立；②若对于给定的正整数k，an－k＋an＋k＝2an对于任意的正整数n（n>k）恒成立，则称数列{an}是“R（k）数列”．

（1）已知an＝判断数列{an}是否为“R

（2）数列”，并说明理由；

（2）已知数列{bn}是“R（3）数列”，且存在整数p（p>1），使得b3p－3，b3p－1，b3p＋1，b3p＋3成等差数列，证明：

{bn}是等差数列．

2018届高三年级第一次模拟考试（四）

数学附加题

（本部分满分40分，考试时间30分钟）

21.【选做题】本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两小题，并作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

A.[选修41：

几何证明选讲]（本小题满分10分）

如图，已知⊙O1的半径为2，⊙O2的半径为1，两圆外切于点T.点P为⊙O1上一点，PM与⊙O2切于点M.若PM＝，求PT的长．

B.[选修42：

矩阵与变换]（本小题满分10分）

已知x∈R，向量是矩阵A＝的属于特征值λ的一个特征向量，求λ与A－1.

C.[选修44：

坐标系与参数方程]（本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，直线y＝x与曲线（t为参数）相交于A，B两点，求线段AB的长．

D.[选修45：

不等式选讲]（本小题满分10分）

已知a>1，b>1，求＋的最小值．

【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

22.（本小题满分10分）

如图，在四棱锥PABCD中，AP，AB，AD两两垂直，BC∥AD，且AP＝AB＝AD＝4，BC＝2.

（1）求二面角PCDA的余弦值；

（2）已知点H为线段PC上异于C的点，且DC＝DH，求的值．

23.（本小题满分10分）

（1）用数学归纳法证明：

当n∈N*时，cosx＋cos2x＋cos3x＋…＋cosnx＝－（x∈R，且x≠2kπ，k∈Z）；

（2）求sin＋2sin＋3sin＋4sin＋…＋2018sin的值.

2018届南通、泰州高三年级第一次模拟考试

数学参考答案

1.1　2.－　3.25　4.10　5.　6.5　7.

8.　9.　10.e－2　11.2　12.4－4

13.3　14.∪（1，＋∞）

15.解析：

（1）在△ABN中，M是AB的中点，

D是BN的中点，

所以MD∥AN.（3分）

因为AN⊂平面PAC，MD⊄平面PAC，

所以MD∥平面PAC.（6分）

（2）在△ABC中，CA＝CB，M是AB的中点，

所以AB⊥MC.（8分）

因为AB⊥PC，PC⊂平面PMC，MC⊂平面PMC，PC∩MC＝C，

所以AB⊥平面PMC.（11分）

因为AB⊂平面ABN，

所以平面ABN⊥平面PMC.（14分）

16.解析：

（1）在△ABC中，根据余弦定理及a2＝b2＋c2－bc得，cosA＝＝.

因为A∈（0，π），所以A＝.（3分）

在△ABC中，由正弦定理＝得

sinB＝sinA＝×＝.（6分）

（2）因为a＝b>b，

所以A>B，即0

又sinB＝，所以cosB＝＝.（9分）

在△ABC中，A＋B＋C＝π，

所以cos＝cos

＝－cos（12分）

＝－

＝－＝－.（14分）

17.解析：

（1）设椭圆的焦距为2c，由题意得＝，＝4，（2分）

解得a＝2，c＝，所以b＝.

所以椭圆的方程为＋＝1.（4分）

（2）方法一：

因为S△AOB＝2S△AOM，

所以AB＝2AM，

所以M为AB的中点．（6分）

因为椭圆的方程为＋＝1，

所以A（－2，0）．

设M（x0，y0），则B（2x0＋2，2y0）．

所以x＋y＝，　　　　　　　　①

＋＝1,②（10分）

由①②得9x－18x0－16＝0，

解得x0＝－，x0＝（舍去）．

把x0＝－代入①，得y0＝±，（12分）

所以kAB＝±，

因此，直线AB的方程为y＝±（x＋2），

即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.（14分）

方法二：

因为S△AOB＝2S△AOM，所以AB＝2AM，

所以M为AB的中点．（6分）

设直线AB的方程为y＝k（x＋2）．

由得（1＋2k2）x2＋8k2x＋8k2－4＝0，

所以（x＋2）[（1＋2k2）x＋4k2－2]＝0，

解得xB＝.（8分）

所以xM＝＝，yM＝k（xM＋2）＝，（10分）

代入x2＋y2＝得，

＋＝，

化简得28k4＋k2－2＝0，（12分）

即（7k2＋2）（4k2－1）＝0，解得k＝±，

所以直线AB的方程为y＝±（x＋2），

即x＋2y＋2＝0或x－2y＋2＝0.（14分）

18.解析：

以AD所在直线为x轴，以线段AD的中垂线为y轴建立平面直角坐标系．

（1）直线PB的方程为y＝2x，

半圆O的方程为x2＋y2＝402（y≥0），（2分）

由得y＝16.

所以点P到AD的距离为16m．（4分）

（2）①由题意得P（40cosθ，40sinθ）．

直线PB的方程为

y＋80＝（x＋40），令y＝0，得

xE＝－40＝.（6分）

直线PC的方程为y＋80＝（x－40），

令y＝0，得xF＝＋40＝，（8分）

所以EF的长度为

f（θ）＝xF－xE＝，θ∈.（10分）

②区域Ⅳ、Ⅵ的面积之和为

S1＝××80＝，

区域Ⅱ的面积为

S2＝×EF×40sinθ＝××

40sinθ＝，

所以S1＋S2＝.（3分）

设sinθ＋2＝t，则2

则S1＋S2＝

＝1600≥1600（2－4）＝6400（－1），

当且仅当t＝2，即sinθ＝2－2时等号成立．

所以休闲区域Ⅱ、Ⅳ、Ⅵ的面积S1＋S2的最小值为6400（－1）m2.

故当sinθ＝2－2时，绿化区域Ⅰ、Ⅲ、Ⅴ的面积之和最大．（16分）

19.解析：

（1）因为f′（x）＝ex＋（x＋a）ex＝（x＋a＋1）ex.令f′（x）＝0，解得x＝－a－1.

f（x），f′（x）随x的变化列表如下：

所以当x＝－a－1时，f（x）取得极小值．（2分）

因为g′（x）＝3x2＋2ax＋b，由题意可知

g′（－a－1）＝0，且Δ＝4a2－12b>0，

所以3（－a－1）2＋2a（－a－1）＋b＝0，

化简得b＝－a2－4a－3.（4分）

由Δ＝4a2－12b＝4a2＋12（a＋1）（a＋3）>0得a≠－，

所以b＝－a2－4a－3.（6分）

（2）因为F（x）＝f（x）－g（x）＝（x＋a）ex－（x3＋ax2＋bx），

所以F′（x）＝f′（x）－g′（x）＝