南京市2014届数学二模.doc
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南京市2014届高三年级第二次模拟考试
数学2014.03
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸．
参考公式：
柱体的体积公式：
V＝Sh，其中S为柱体的底面积，h为柱体的高．
圆柱的侧面积公式：
S侧＝2πRh，其中R为圆柱的底面半径，h为圆柱的高．
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分.不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）
1．函数f（x）＝lnx＋的定义域为▲．
2．已知复数z1＝－2＋i，z2＝a＋2i（i为虚数单位，aR）．若z1z2为实数，则a的值为▲．
150200250300350400450
0.005
a
0.001
0.004
0.003
O
成绩/分
（第3题图）
3．某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成绩进行分析，随机抽取了150分到450分之间的1000名学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图（如图），则成绩在[300，350）内的学生人数共有▲．
k←1
开始
输出k
结束
S＞6
S←1
Y
N
S←S＋（k－1）2
k←k＋1
（第6题图）
4．盒中有3张分别标有1，2，3的卡片．从盒中随机抽取一张记下号码后放回，再随机抽取一张记下号码，则两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为▲．
5．已知等差数列{an}的公差d不为0，且a1，a3，a7成等比数列，则的值为▲．
6．执行如图所示的流程图，则输出的k的值为▲．
x
x
y
O
·
2
－2
（第7题图）
7．函数f（x）＝Asin（ωx＋φ）（A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如下图所示，则f（）的值为▲．
8．在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2＝4x的准线相交于A，B两点．若△AOB的面积为2，则双曲线的离心率为▲．
9．表面积为12π的圆柱，当其体积最大时，该圆柱的底面半径与高的比为▲．
10．已知||＝1，||＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲．
11．在平面直角坐标系xOy中，过点P（5，3）作直线l与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，若OA⊥OB，则直线l的斜率为▲．
12．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝x2，当x＞1时，f（x＋1）＝f（x）＋f
（1），且．
若直线y＝kx与函数y＝f（x）的图象恰有5个不同的公共点，则实数k的值为▲．
13．在△ABC中，点D在边BC上，且DC＝2BD，AB∶AD∶AC＝3∶k∶1，则实数k的取值范围为▲．
14．设函数f（x）＝ax＋sinx＋cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y＝f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为▲．
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，计70分.
1．（0，1]2．43．3004．5．26．47．1
8．9．10．60°11．1或12．2－213．（，）14．[－1，1]
二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15．（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAB⊥平面ABCD，PA⊥PB，
P
B
C
D
E
A
（第15题图）
BP＝BC，E为PC的中点．
（1）求证：
AP∥平面BDE；
（2）求证：
BE⊥平面PAC．
15．证：
（1）设AC∩BD＝O，连结OE．
因为ABCD为矩形，所以O是AC的中点．
因为E是PC中点，所以OE∥AP．…………………………………………4分
因为AP平面BDE，OE平面BDE，
所以AP∥平面BDE．…………………………………………6分
（2）因为平面PAB⊥平面ABCD，BC⊥AB，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
所以BC⊥平面PAB．………………………………………8分
因为AP平面PAB，所以BC⊥PA．
因为PB⊥PA，BC∩PB＝B，BC，PB平面PBC，
所以PA⊥平面PBC．…………………………………………12分
因为BE平面PBC，所以PA⊥BE．
因为BP＝PC，且E为PC中点，所以BE⊥PC．
因为PA∩PC＝P，PA，PC平面PAC，
所以BE⊥平面PAC．…………………………………………14分
16．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点是坐标原点，始边为x轴的正半轴，终边与单位圆O交
于点A（x1，y1），α∈（，）．将角α终边绕原点按逆时针方向旋转，交单位圆于点B（x2，y2）．
A
B
D
O
C
x
y
（第16题图）
（1）若x1＝，求x2；
（2）过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，记△AOC及
△BOD的面积分别为S1，S2，且S1＝S2，求tanα的值．
16．解：
（1）因为x1＝，y1＞0，所以y1＝＝．
所以sinα＝，cosα＝．………………………2分
所以x2＝cos（α＋）＝cosαcos－sinαsin＝－．…………………………………6分
（2）S1＝sinαcosα＝－sin2α．…………………………………………8分
因为α（，），所以α＋（，）．
所以S2＝－sin（α＋）cos（α＋）＝－sin（2α＋）＝－cos2α．……………………………10分
因为S1＝S2，所以sin2α＝－cos2α，即tan2α＝－．…………………………………12分
所以＝－，解得tanα＝2或tanα＝－．因为α（，），所以tanα＝2．………14分
17．（本小题满分14分）
A
P
M
N
B
C
（第17题图）
如图，经过村庄A有两条夹角为60°的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M、N（异于村庄A），要求PM＝PN＝MN＝2（单位：
千米）．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最远）．
解法一：
设∠AMN＝θ，在△AMN中，＝．
因为MN＝2，所以AM＝sin（120°－θ）．………………………………………2分
在△APM中，cos∠AMP＝cos（60°＋θ）．…………………………………………6分
AP2＝AM2＋MP2－2AM·MP·cos∠AMP
＝sin2（120°－θ）＋4－2×2×sin（120°－θ）cos（60°＋θ）………………………………8分
＝sin2（θ＋60°）－sin（θ＋60°）cos（θ＋60°）＋4
＝[1－cos（2θ＋120°）]－sin（2θ＋120°）＋4
＝－[sin（2θ＋120°）＋cos（2θ＋120°）]＋
＝－sin（2θ＋150°），θ∈（0，120°）．…………………………………………12分
当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
A
P
M
N
B
C
第17题图
D
答：
设计∠AMN为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．……………………………………14分
解法二（构造直角三角形）：
设∠PMD＝θ，在△PMD中，
∵PM＝2，∴PD＝2sinθ，MD＝2cosθ．……………2分
在△AMN中，∠ANM＝∠PMD＝θ，∴＝，
AM＝sinθ，∴AD＝sinθ＋2cosθ，（θ≥时，结论也正确）．……………6分
AP2＝AD2＋PD2＝（sinθ＋2cosθ）2＋（2sinθ）2
＝sin2θ＋sinθcosθ＋4cos2θ＋4sin2θ…………………………8分
＝·＋sin2θ＋4＝sin2θ－cos2θ＋
＝＋sin（2θ－），θ∈（0，）．…………………………12分
当且仅当2θ－＝，即θ＝时，AP2取得最大值12，即AP取得最大值2．
此时AM＝AN＝2，∠PAB＝30°…………………………14分
解法三：
设AM＝x，AN＝y，∠AMN＝α．
在△AMN中，因为MN＝2，∠MAN＝60°，
所以MN2＝AM2＋AN2－2AM·AN·cos∠MAN，
即x2＋y2－2xycos60°＝x2＋y2－xy＝4．…………………………………………2分
因为＝，即＝，
所以sinα＝y，cosα＝＝＝．…………………………………………6分
cos∠AMP＝cos（α＋60°）＝cosα－sinα＝·－·y＝．……………………………8分
在△AMP中，AP2＝AM2＋PM2－2AM·PM·cos∠AMP，
即AP2＝x2＋4－2×2×x×＝x2＋4－x（x－2y）＝4＋2xy．………………………………………12分
因为x2＋y2－xy＝4，4＋xy＝x2＋y2≥2xy，即xy≤4．
所以AP2≤12，即AP≤2．
当且仅当x＝y＝2时，AP取得最大值2．
答：
设计AM＝AN＝2km时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．………………………………14分
18．（本小题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C∶＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2，一条准线方程为x＝2．P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点P的坐标为（0，b），求过P，Q，F2三点的圆的方程；
（3）若＝λ，且λ∈[，2]，求·的最大值．
（1）解：
由题意得解得c＝1，a2＝2，所以b2＝a2－c2＝1．
所以椭圆的方程为＋y2＝1．…………………………………………2分
（2）因为P（0，1），F
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