河北省中考数学总复习第一编教材知识《51图形的相似与位似》精讲与精炼试题含答案Word文件下载.docx

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，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（　C　）

A）　

B）　

C）　　　

D）

2．（2014河北中考）在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：

甲：

将边长为3，4，5的三角形按图①的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似.

图①

图②

乙：

将邻边为3和5的矩形按图②的方式向外扩张，得到新矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．

对于两人的观点，下列说法正确的是（　A　）

A．两人都对B．两人都不对

C．甲对，乙不对D．甲不对，乙对

　图形的位似

3．（2017保定中考模拟）图中两个四边形是位似图形，它的位似中心是（　D　）

A．点MB．点NC．点OD．点P

4．（2017保定中考模拟）若如图所示的两个四边形相似，则α的度数是（　A　）

A．87°

B．60°

C．75°

D．120°

5．（2017唐山中考模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°

，点D，E分别在边AC，AB上，若∠B＝∠ADE，则下列结论正确的个数是（　D　）

①∠B和∠A互为补角；

②∠A和∠ADE互为余角；

③△ABC∽△ADE；

④如果AB＝2AD，则S△ADE∶S△ABC＝1∶4；

⑤△ABC与△ADE位似．

A．4B．2C．1D．3

6．（2016沧州八中一模）如图，在△ABC中，D，E，F分别是边AB，AC，BC上的点，DE∥BC，EF∥AB，且AD∶DB＝3∶5，那么CF∶CB等于（　A　）

A．5∶8B．3∶8

C．3∶5D．2∶5

（第6题图）

（第7题图）

7．（2016石家庄二十八中一模）如图，在

▱ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线

于点F，BG⊥AE于点G，BG＝4，则△EFC

的周长为（　D　）

A．11B．10C．9D．8

8．（2016保定中考模拟）在直角坐标系中，已知点A（－2，0），B（0，4），C（0，3），过C作直线交x轴于D，使以D，O，C为顶点的三角形与△AOB相似．这样的直线最多可以作（　C　）

A．2条B．3条

C．4条D．6条

9．（2016邯郸一模）如图，在正方形ABCD

中，E为AB的中点，G，F分别为AD，BC边上的点，若AG＝1，BF＝2，∠GEF＝90°

，则GF的长为（　D　）

A．4B．2

C．5D．3

10．（2016保定十七中一模）下列四组图形中，一定相似的是（　D　）

A．正方形与矩形

B．正方形与菱形

C．菱形与菱形

D．正五边形与正五边形

11．（2016石家庄二十八中一模）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A＝∠C＝90°

，BD⊥BE，AD＝BC.

（1）求证：

AC＝AD＋CE；

（2）若AD＝3，CE＝5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q.若点P与A，B两点不重合，求的值．

解：

（1）∵∠A＝∠C＝90°

，DB⊥BE，

∴∠ADB＋∠ABD＝90°

，∠ABD＋∠EBC＝90°

.

∴∠ADB＝∠EBC.

又AD＝BC，∴△ADB≌△CBE（ASA），

∴AB＝CE.∴AC＝BC＋AB＝AD＋CE；

（2）过点Q作QH⊥BC于点H.

则△ADP∽△HPQ，△BHQ∽△BCE，

∴＝，＝.

设AP＝x，QH＝y，则有＝，

∴BH＝，PH＝＋5－x，

∴＝，即（x－5）·

（3y－5x）＝0.

又点P不与A，B重合，

∴x≠5，即x－5≠0.

∴3y－5x＝0，即3y＝5x.

∴＝＝.

12．（2016河北中考）如图①，E是线段BC的中点，分别以B，C为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰直角三角形，且在BC的同侧．

（1）AE和ED的数量关系为________；

AE和ED的位置关系为________；

（2）在图①中，以点E为位似中心，作△EGF与△EAB位似，H是B

C所在直线上的一点，连接GH，HD，分别得到图②和图③.

①在图②中，点F在BE上，△EGF与△EAB的相似比是1∶2，H是EC的中点，求证：

GH＝HD，GH⊥HD.

②在图③中，点F在BE的延长线上，△EGF与△EAB的相似比是k∶1，若BC＝2，请直接写出CH的长为多少时，恰好使得GH＝HD且GH⊥HD.（用含k的代数式表示）

（1）AE＝ED；

AE⊥ED；

（2）①由题意，得∠B＝∠C＝90°

，

AB＝BE＝EC＝DC.

∵△EGF与△EAB的相似比为1∶2，

∴∠GFE＝∠B＝90°

，GF＝AB，EF＝EB，

∴∠GFE＝∠C.

∵H是EC的中点，

∴EH＝HC＝EC，

∴GF＝HC，FH＝FE＋EH＝EB＋EC＝BC＝EC＝CD，

∴△HGF≌△DHC.

∴GH＝HD，∠GHF＝∠HDC.

∵∠HDC＋∠DHC＝90°

∴∠GHF＋∠DHC＝90°

∴∠GHD＝90°

，∴GH⊥HD；

②∵GH＝HD，GH⊥HD，

∴∠FHG＋∠DHC＝90°

∵∠FHG＋∠FGH＝90°

，∴∠FGH＝∠DHC.

在△FGH和△CHD中，

∴△GFH≌△HCD.∴FG＝CH.

∵EF＝FG，∴EF＝CH.

∵△EGF与△EAB的相似比是k∶1，BC＝2，

∴BE＝EC＝1，

∴EF＝k，∴CH的长为k.

中考考点清单）

　比例的相关概念及性质

1．线段的比：

两条线段的比是两条线段的__长度__之比．

2．比例中项：

如果＝，即b2＝__ac__，我们就把b叫做a，c的比例中项．

3．比例的性质

性质

内容

性质1

＝⇔__ad__＝bc（a，b，c，d≠0）．

性质2

如果＝，那么＝.

性质3

如果＝＝…＝（b＋d＋…＋n≠0），则＝__（不唯一）__.

4.黄金分割：

如果点C把线段AB分成两条线段，使＝____，那么点C叫做线段AC的__黄金分割点__，AC是BC与AB的比例中项，AC与AB的比叫做__黄金比__．

　相似三角形的判定及性质

5．定义：

对应角__相等__，对应边__成比例__的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比叫做相似比．

6．性质：

（1）相似三角形的__对应角__相等；

（2）相似三角形的对应线段（边、高、中线、角平分线）成比例；

（3）相似三角形的周长比等于__相似比__，面积比等于__相似比的平方__．

7．判定：

（1）__有两角__对应相等，两三角形相似；

（2）两边对应成比例且__夹角__相等，两三角形相似；

（3）三边__对应成比例__，两三角形相似；

（4）两直角三角形的斜边和一条直角边__对应成比例__，两直角三角形相似．

【方法技巧】判定三角形相似的几条思路：

（1）条件中若有平行线，可采用相似三角形的判定

（1）；

（2）条件中若有一对等角，可再找一对等角[用判定

（1）]或再找夹边成比例[用判定

（2）]；

（3）条件中若有两边对应成比例，可找夹角相等；

（4）条件中若有一对直角，可考虑再找一对等角或证明斜边、直角边对应成比例；

（5）条件中若有等腰条件，可找顶角相等，或找一个底角相等，也可找底和腰对应成比例．

【易错警示】应注意相似三角形的对应边成比例，若已知△ABC∽△DEF，列比例关系式时，对应字母的位置一定要写正确，才能得到正确的答案．

如：

＝，此式正确．那么想一想，哪种情况是错误的呢？

请举例说明．

　相似多边形

8．定义：

对应角__相等__，对应边__成比例__的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做它们的相似比．

9．性质：

（1）相似多边形的对应边__成比例__；

（2）相似多边形的对应角__相等__；

（3）相似多边形周长的比__等于__相似比，相似多边形面积的比等于__相似比的平方__．

　位似图形

10．定义：

如果两个图形不仅是相似图形而且每组对应点的连线交于一点，对应边互相平行（或在同一条直线上），那么这样的两个图形叫做__位似图形__，这个点叫做__位似中心__，相似比叫做位似比．

11．性质：

（1）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的

比等于__k或－k__；

（2）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于__位似比或相似比__．

12．找位似中心的方法：

将两个图形的各组对应点连接起来，若它们的直线或延长线相交于一点，则该点即是__位似中心__．

13．画位似图形的步骤：

（1）确定__位似中心__；

（2）确定原图形的关键点；

（3）确定__位似比__，即要将图形放大或缩小的倍数；

（4）作出原图形中各关键点的对应点；

（5）按原图形的连接顺序连接所作的各个对应点．

中考重难点突破）

　比例的性质

【例1】已知＝＝，且3a－2b＋c＝20，则2a－4b＋c的值为________．

【解析】比例的性质中常见题型，把a，b，c用含有相同字母的式子表达出来，再代入解方程即可．

【答案】－6

1．（2015沧州十三中一模）若x∶y＝1∶3，2y＝3z，则的值是（　A　）

A．－5B．－C.D．5

　相似三角形的判定与性质

【例2】

（茂名中考）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°

，AC＝6cm，BC＝8cm，动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，运动时间为ts，连接MN.

（1）如图①，若△BMN与△ABC相似，求t的值；

（2）如图②，连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．

【解析】

（1）△BMN与△ABC相似，分两种情况：

△BMN∽△BAC和△BMN∽△BCA，得对应线段成比例，求得t的值；

（2）过点M作MD⊥BC于点D，把BM，DM，BD，CN用t表示后，CD就可用t表示，证得△CAN∽△DCM，得对应线段成比例，得关于t的方程，求出t的值．

【答案】解：

（1）由题意知BA＝＝10（cm），BM＝3tcm，CN＝2tcm，

∴BN＝（8－2t）cm.

①当△BMN∽△BAC时，有＝，

∴＝，解得t＝；

②当△BMN∽△BCA时，有＝，

∴＝，解得t＝.

∴当△B

MN与△ABC相似时，t的值为或；

（2）如图②，过点M作MD⊥CB于点D.

由题意得BM＝3tcm，CN＝2tcm，

DM＝BM·

s

inB＝3t·

＝t（cm），

BD＝BM·

cosB＝3t·

∴CD＝cm.

∵AN⊥CM，∠ACB＝90°

∴∠CAN＋∠ACM＝90°

，∠MCD＋∠ACM＝90°

∴∠CAN＝∠MCD.

∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°

∴△CAN∽△DCM.∴＝，

2．如图，不等

长的两对角线AC，BD相交于点O，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA

∶OC＝OB∶OD＝1∶2，则关于这四个三角形的关系，下列叙述中正确的是（　B　）

A．甲、丙相似，乙、丁相似

B．甲、丙相似，乙、丁不相似

C．甲、丙不相似，乙、丁相似

D．甲、丙不相似，乙、丁不相似

3．（自贡中考）如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边的中点，求证：

DE綊BC.

证明：

∵D是AB的中点，E是AC的中点，

∴＝，＝，

∴＝.

又∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.

∴＝＝，∠ADE＝∠B，

∴BC＝2DE，BC∥DE，

即DE綊BC.

【例3】

（2016承德二中模拟）如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O在坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA′B′C

′与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA′B′C′的面积等于矩形OABC面积的，那么点B′的坐标是（　D　）

A．（－2，3）

B．（2，－3）

C．（3，－2）或（－2，3）

D．（－2，3）或（2，－3）

【解析】在第二象限与第四象限分别能画出符合条件的矩形OA′B′C′.

【答案】D

4．（2016沧州八中二模）如图，

△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°

，CO＝CD.若B（1，0），则点C的坐标为（　B　）

A．（1，2）

B．（1，1）

C．（，）

D．（2，1）

1．（东营中考）若＝，则的值为（　D　）

A．1B.C.D.

2．（20

17自贡中考）在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；

若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长

为（　A　）

A．1B．2C.D．3

3．（荆州中考）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△

ABP∽△ACB，添加一个条件不正确的是（　D　）

A．∠ABP＝∠CB．∠APB＝∠ABC

C.＝D.＝

（第3题图）

（第4题图）

4．（杭州中考）如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝（　B　）

A.B.C.D．1

5．（河北中考）如图，在△ABC中，∠C＝90°

，BC＝6，D，E分别在AB，AC上，将△ABC沿DE折叠，使点A落在点A′处，若A′为CE的中点，则折痕DE的长为（　B　）

A.B．2

C．3D．4

6．（重庆中考）△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为（　C　）

A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶16

7．（盐城中考）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　C　）

A．0个B．1个C．2个D．3个

（第8题图）

8．（安徽中考）如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为（　B　）

A．4B．4C．6D．4

9．（2017烟台中考）如图，在平面

直角坐标系中，每个小方格的边长均为1.△AOB与△A′OB′是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为3∶2，点A，B都在格点上，则点B′的坐标是____．

（第9题图）

（第10题图）

10．（2017兰州中考）如图，四边

形ABCD与四边形EFGH相似，位似中心是点O，＝，则＝____．

11．（衡阳中考）若△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为__5∶4__．

12．（咸宁中考）如图，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，下列结论：

①＝；

②＝

；

③＝；

④＝.

其中正确的个数有（　B　）

A．1个B．2个C．3个D．4个

（第12题图）

（第13题图）

13．（2016沧州九中模拟）如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E.若AB＝10，BC＝16，则

线段EF的长为（　B　）

A．2B．3C．4D．5

14．（泰安中考）如图，△ABC内接⊙O，AB是⊙O的直径，∠B＝30°

，C

E平分∠ACB交⊙O于点E，交AB于点D，连接AE，则S△ADE∶S△CDB的值等于（　D　）

A．1∶B．1∶C．1∶2D．2∶3

（第14题图）

（第15题图）

15．如图，若A，B，C，P，Q和甲、乙、丙、丁都是方格

纸中的格点，为使△PQR∽△ABC，则点R应是甲、乙、丙、丁四点中的（　C　）

A．甲B．乙C．丙D．丁

16．（河北中考）如图，在6×

8网格图中，每个小正方形边长均为1，点O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点．

（1）以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1∶2

（2）连接

（1）中的AA′，求四边形AA′C′C的周长．（结果保留根号）

（1）如图；

（2）4＋6.

17．（舟山中考）如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？

∵△ABC与△DEC的面积相等，

∴△CDF与四边形AFEB的面积相等．

∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA.

∵EF＝9，AB＝12，∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，

∴△CEF和△CBA的面积比＝9∶16.

设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.

∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，

∴S△CDF＝7k.

∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，

∴面积比等于底之比，∴DF∶EF＝7k∶9k，

∵EF＝9，∴DF＝7.

18．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.

△ADF∽△ACG；

（2）若＝，求的值．

（1）∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，

∴∠ADF＝∠C.

∵＝，∴△ADF∽△ACG；

（2）∵△ADF∽△ACG，∴＝，

又∵＝，∴＝，∴＝1.