北京高考导数大题分类.doc

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导数大题分类

一、含参数单调区间的求解步骤：

①确定定义域（易错点）

②求导函数

③对进行整理，能十字交叉的十字交叉分解，若含分式项，则进行通分整理.

④中的最高次系数是否为0，为0时求出单调区间.

例1：

，则要首先讨论情况

⑤最高次系数不为0，讨论参数取某范围的值时，若，则在定义域内单调递增；若，则在定义域内单调递减.

例2：

，则=，显然时，此时的单调区间为.

⑥最高次系数不为0，且参数取某范围的值时，不会出现或者的情况

求出=0的根，（一般为两个），判断两个根是否都在定义域内.如果只有一根在定义域内，那么单调区间只有两段.

若两根都在定义域内且一根为常数，一根含参数.则通过比较两根大小分三种情况讨论单调区间，即.

例3:

若，则，

解方程得

时，只有在定义域内.

时,比较两根要分三种情况：

用所得的根将定义域分成几个不同的子区间，讨论在每个子区间内的正负，求得

的单调区间。

（1）求函数的单调区间

1.已知函数

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程.

（Ⅱ）求得单调区间.

2.已知函数，.

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）讨论的单调性.

3.已知函数.

（Ⅰ）当时，求函数值域；

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间.

4．已知函数，其中.

（Ⅰ）若，求函数的极值；

（Ⅱ）当时，试确定函数的单调区间.

（二）求函数在给定的区间的最值问题

5．已知函数，.

（Ⅰ）若曲线与在它们的交点处具有公切线，求的值.

（Ⅱ）当时，求函数的单调区间，并求其在上的最大值.

6．已知函数，．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间的最小值为，求的值．

7.已知函数（其中为常数且）在处取得极值.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若函数在区间[0,e]上的最大值为1，求的值.

8．已知函数，其中.

（Ⅰ）若是的极值点，求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围.

9.已知，其中．

（Ⅰ）若函数在点处切线斜率为，求的值；

（Ⅱ）求的单调区间；

（Ⅲ）若在上的最大值是，求的取值范围．

10.设函数，．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求证：

；

（Ⅲ）当时，求函数在上的最大值．

二、恒成立问题的几种问法：

1．对于，恒成立，等价于函数在上的最小值.诉讼

2．对于，恒成立，等价于函数在上的最大值.

3.对于，，等价于在区间上的最小值，大于等于

在区间上的最大值，即.

4.对于，，等价于在区间上的最大值，小于等于

在区间上的最小值，即.

5.对于，，等价于构造函数，在区间上的最小值

.

6.对于，，等价于构造函数，在区间上的最大值

.

7.在区间上单调递增，等价于.

8.在区间上单调递减，等价于.

1.已知函数.

（Ⅰ）求的单调区间.

（Ⅱ）若对于任意的，都有，求的取值范围.

2.设为曲线C:

在点处的切线.

（Ⅰ）求的方程.

（Ⅱ）证明：

除切点外，曲线C在直线下方.

3.已知函数，

（Ⅰ）求证：

（Ⅱ）若在上恒成立，求的最大值和的最小值.

5.已知，函数，.

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）求证：

对于任意的，都有.

6.已知函数，．

（Ⅰ）若曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设，当时，都有成立，求实数的取值范围．

7.已知函数

（Ⅰ）当时求的极小值.

（Ⅱ）若函数在区间上为增函数，求得取值范围

8.已知.

（I）求函数在上的最小值；

（II）对一切恒成立，求实数的取值范围.

9.已知函数

（I）若函数在处的切线垂直于轴，求实数a的值；

（II）在（I）的条件下，求函数的单调区间；

（III）若恒成立，求实数a的取值范围.

10.已知函数，其中aR．

⑴当时，求f（x）的单调区间；

⑵当a＞0时，证明：

存在实数m＞0，使得对于任意的实数x，都有｜f（x）｜≤m成立．

三、存在性问题的几种问法：

1.,使得成立，等价函数在上的最大值.

2.,使得成立，等价函数在上的最小值.

3.，使得成立，等价于在区间上的最大值，大于等于

在区间上的最小值，即.

4.，使得，等价于在区间上的最小值，小于等于

在区间上的最大值，即.

5.，使得，等价于构造函数，在区间上的最大值

.

6.，使得，等价于构造函数，在区间上的最小值

.

7.在区间上存在单调递增区间，等价于的最大值.

8.在区间上存在单调递减区间，等价于的最小值.

1.已知曲线.

（Ⅰ）求曲线在点（）处的切线方程；

（Ⅱ）若存在使得，求的取值范围.

2.已知函数．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）设函数．若至少存在一个，使得成立，求实数的取值范围．

3.已知函数

（Ⅰ）若，求函数的极值和单调区间；

（Ⅱ）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

4.已知函数．

（Ⅰ）当时，求在区间上的最小值；

（Ⅱ）求证：

存在实数，有.

四、切线问题

1.已知函数．

（Ⅰ）求函数的单调区间；

（Ⅱ）当时，都有成立，求的取值范围；

（Ⅲ）试问过点可作多少条直线与曲线相切？

并说明理由．

2.已知函数．

（I）求曲线在点处的切线方程；

（II）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：

．

五、特殊问题

1.已知函数.

（Ⅰ）求函数的零点及单调区间；

（Ⅱ）求证：

曲线存在斜率为6的切线，且切点的纵坐标.

六、构造函数模型

1.设函数，．

（Ⅰ）当时，求的单调区间；

（Ⅱ）当时，恒成立，求的取值范围；

（Ⅲ）求证：

当时，．

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